向心加速度公式推導(dǎo)完整版—李朝輝整理

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1、向心加速度公式推導(dǎo)完整版—李朝輝整理向心加速度是勻速圓周運動中的教學難點，這是由于學生因長期接受標量運算而產(chǎn)生的思維定勢，認為勻速圓周運動中物體運動速率不變，故其因此我們在教學中必須強調(diào)兩點，一的矢量性，速度的方向變化也表示速度有變化，故△v≠0，另一是速度變化的方向就是加速度的方向。因此在教學中必須說清楚△v的方向。教材中引進了速度三角形的方法，實際上已經(jīng)考慮到了上述兩點。關(guān)于向心加速度公式的推導(dǎo)方法甚多，下面提供幾種有推導(dǎo)方法，供大家參考。方法一：（課本上的方法）利用加速度的定義推導(dǎo)（又稱矢量合成法）：　　如圖所示：設(shè)小球在很短

2、的時間t內(nèi)從A運動到B,在時間t內(nèi)速度變化為△v,　　因為△OAB∽△BDC（可自己證一下）,所以有：△v/v=AB/R　　當t→0時,AB=弧AB　　所以：v=弧AB/t,a=△v/t　　所以a=v2/R方法二：在矢量合成法中應(yīng)用三角函數(shù)推導(dǎo)：如圖所示，物體自半徑為r的圓周a勻速率運動至b，所經(jīng)時間為△t，若物體在a、b點的速率為va=vb=v，則其速度的增量△v=vb-va=vb+（-va），由平行四邊形法則作出其矢量圖如圖。由余弦定理可得可見當θ→0時，α=90°，即△v的方向和vb垂直，由于vb方向為圓周切線方向，故△v的方

3、向指向圓心.因△v的方向即為加速度的方向，可見勻速圓周運動中加速度的方向指向圓心，。方法三：利用運動的合成與分解推導(dǎo)（簡稱運動合成法）　　由于慣性,小球有離開圓心沿切線運動的趨勢,而細線的拉力卻拉著小球向圓心運動.這樣小球運動可分解成沿切線方向的勻速直線運動和沿半徑方向的初速度為零的勻加速直線運動　　設(shè)在很短的時間t內(nèi),小球沿圓周從A到B,可分解為沿切線AC方向的勻速直線運動和沿AD方向初速度為零的勻加速直線運動.如圖一：方法四：利用開普勒第三定律、萬有引力定律和牛頓第二定律推導(dǎo)向心加速度　　設(shè)：質(zhì)量為m的人造地球衛(wèi)星以速率v在半徑

4、為r的近圓軌道上繞地球運行,運行周期為T,地球質(zhì)量為M.　　根據(jù)開普勒第三定律：T2/r3=k（k為常量）　　根據(jù)萬有引力定律：F=GMm/r2　　對于圓周運動的物體有：T=2πr/v　　根據(jù)牛頓第二定律：a=F/m　　聯(lián)立上述各式有：a=（GMk/4π2）×（v2/r）　　所以：a∝v2/r方法五：曲率圓法方法六：類比法：　　設(shè)有一位置矢量r繞o點旋轉(zhuǎn)，其矢端由a至b時發(fā)生的位移為△s（如圖4）.若所經(jīng)時間為△t，則在此段時間內(nèi)的平均速率顯然這個速率描述的是位置矢量矢端的運動速率，當△t趨近于零時，這個平均速率就表示位置矢量的矢端

5、在某一時刻的即時速率，如果旋轉(zhuǎn)是勻角速的，則其矢端的運動也是勻速率的，易知其速率（1）式中t為旋轉(zhuǎn)周期.再如圖5是一物體由a至b過程中，每轉(zhuǎn)過1/8圓周，速度變化的情況?，F(xiàn)將其速度平移至圖6中，容易看出圖6和圖5相類似，所不同的是圖5表示的是位置矢量的旋轉(zhuǎn).，而圖6則是速度矢量的旋轉(zhuǎn)，顯然加速度是速度的變化率，即由圖6可知，這個速度變化率其實就是端的旋轉(zhuǎn)速率，其旋轉(zhuǎn)半徑就是速率v的大小，故有比較圖5圖6可以看出當△t→o時△v的方向和△s的方向相垂直.故加速度的方向和速度方向相垂直.