【微積分】數(shù)列極限

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1、第一節(jié)數(shù)列極限的定義和性質(zhì) 一、數(shù)列極限的定義例如注意:1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)問(wèn)題:當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問(wèn)題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.如果數(shù)列沒(méi)有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意:幾何解釋:其中例1證推論:證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故也可由N與?有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說(shuō)明:取于是例2.已知例3證例4證例5證令則所以取二、數(shù)列極限的性質(zhì)1、收斂數(shù)列的有界性例如,有界;無(wú)

2、界定理1收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,推論無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.注意:有界性是數(shù)列收斂的必要條件,而非充分條件.則有例6證由定義,區(qū)間長(zhǎng)度為1.不可能同時(shí)位于長(zhǎng)度為1的區(qū)間內(nèi).2、收斂數(shù)列的唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.若且時(shí),有證:對(duì)a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)3、收斂數(shù)列的保號(hào)性定理34、子數(shù)列的收斂性注意:例如,定理4收斂數(shù)列的任一子數(shù)列也收斂.且極限相同.證由定理4可知,若一個(gè)數(shù)列存在發(fā)散的子數(shù)列或者存在兩個(gè)收斂于不同極限的子數(shù)列,例

3、如,發(fā)散!則該數(shù)列說(shuō)明:一定發(fā)散.小結(jié)有界性、唯一性、保號(hào)性、子數(shù)列的收斂性.1.數(shù)列極限的“?–N”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):練習(xí)題

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