081數(shù)值計(jì)算方法—常微分方程組

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1、科學(xué)計(jì)算—理論、方法及其基于MATLAB的程序?qū)崿F(xiàn)與分析微分方程（組）數(shù)值解法§1常微分方程初值問題的數(shù)值解法微分方程（組）是科學(xué)研究和工程應(yīng)用中最常用的數(shù)學(xué)模型之一。如揭示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的Newton第二定律：　　　　　　　　　?。ǎ保┖涂坍嫽芈冯娏骰螂妷鹤兓?guī)律的基爾霍夫回路定律等，但是，只有一些簡(jiǎn)單的和特殊的常微分方程及常微分方程組，可以求得用公式給出的所謂“解析解”或“公式解”，如一階線性微分方程的初值問題：　　　　　　　　　　　　?。ǎ玻┑慕鉃椋骸　　　　　　　　　　。ǎ常┑?，絕大多數(shù)在實(shí)際中遇到的常微分方程和常微分方程

2、組得不到“解析解”，因此，基于如下的事實(shí)：１、絕大多數(shù)的常微分方程和常微分方程組得不到（有限形式的）解析解；２、實(shí)際應(yīng)用中往往只需要知道常微分方程（組）的解在（人們所關(guān)心的）某些點(diǎn)處的函數(shù)值（可以是滿足一定精度要求的近似值）；如果只需要常微分方程（組）的解在某些點(diǎn)處的函數(shù)值，則沒有必要非得通過求得公式解，然后再計(jì)算出函數(shù)值不可，事實(shí)上，我們可以采用下面將介紹的常微分方程（組）的初值問題的數(shù)值解法，就可以達(dá)到這一目的。一般的一階常微分方程（組）的初值問題是指如下的一階常微分方程（組）的定解問題：　　　　　　　　　（７）其中　　　　　

3、　　　　　?。ǎ福　　　　　　　　　。ǎ梗┏Ｎ⒎址匠蹋ńM）的初值問題通常是對(duì)一動(dòng)態(tài)過程（動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、動(dòng)力系統(tǒng)）演化規(guī)律的描述，求解常微分方程（組）的初值問題就是要了解和掌握動(dòng)態(tài)過程演化規(guī)律?！欤?1常微分方程（組）的Cauch問題數(shù)值解法概論假設(shè)要求在點(diǎn)（時(shí)刻），處初值問題（７）的解的（近似）值,如果已求得時(shí)刻的值或它的近似值(如時(shí)刻的值)，那么將式（７）的兩端在區(qū)間上積分　　　　　　　　(10)可得　　　　　　　(11)或　　　　　　　　(12)顯然,為了利用式（11）或（12）求得的精確值（近似值），必須計(jì)算右端的積分，這是問

4、題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)所在，如前所述，一般得不到精確的公式解，因此需要采用數(shù)值積分的方法求其近似解,可以說,不同的式值積分方法將給出不同的Cauch問題的數(shù)值解法。§1.2　最簡(jiǎn)單的數(shù)值解法——Euler方法假設(shè)要求在點(diǎn)（時(shí)刻），，處初值問題（７）的解的近似值。首先對(duì)式（７）的兩端積分，得　　　　　　　?。?3）對(duì)于式（13）的右邊，如果用積分下限處的函數(shù)值代替被積函數(shù)作積分（從幾何上的角度看，是用矩形面積代替曲邊梯形面積），則有　　　　　　　?。?4）進(jìn)而得到下式給出的遞推算法—Euler方法　　　　　　　?。?5）例１　用Euler

5、方法解如下初值問題，取，解：由（15）得結(jié)果如下：openEuler_Method.m如果取，其結(jié)果如下圖所示：Euler_Method§1.3　改進(jìn)的Euler方法對(duì)于（15）的右邊，如果被積函數(shù)用積分限和處的函數(shù)值的算術(shù)平均值代替（幾何上，是用梯形面積代替曲邊梯形面積），則有　?。?6）進(jìn)而得到下式給出的遞推算法：　　　?。?7）通常算法（17）比Euler方法（15）的精度高，但是，按算法（17）求時(shí)要解（非線性）方程（組），這是算法（17）不如Euler方法的方面，為了１）盡可能地保持算法（17）精度高的優(yōu)點(diǎn)；２）盡可能地

6、利用Euler方法計(jì)算簡(jiǎn)單的長(zhǎng)處；人們采取了如下的稱之為改進(jìn)的Euler方法的折衷方案：預(yù)測(cè)　　　　　　　?。?8）修正　　　?。?9）　　　　　　　　　　例２　Euler方法與改進(jìn)的Euler方法的比較　　下圖是當(dāng)時(shí)比較的結(jié)果：openImproved_Euler_Method.m§1.4　Euler方法和改進(jìn)的Euler方法的誤差分析由Taylor公式（19）說明Euler方法的截?cái)嗾`差是，類似地，由　?。?0）（21）以及(22)讓式（20）的兩端減式（21）的兩端，可得（23）從上述推導(dǎo)Euler方法、改進(jìn)的Euler方法

7、的過程以及例１、例２容易看出，改進(jìn)的Euler方法Euler方法的精度高，其原因在于：1在推導(dǎo)Euler方法時(shí)，我們是用待求解函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率代替在區(qū)間上的平均變化率：（24）2而在推導(dǎo)改進(jìn)的Euler方法時(shí)，我們是用待求解函數(shù)在兩點(diǎn)處變化率的平均值代替在區(qū)間上的平均變化率；顯然，通常比更接近于在區(qū)間上的平均變化率。由此啟發(fā)人們：適當(dāng)?shù)剡x取區(qū)間上函數(shù)若干點(diǎn)處的變化率，用它們加權(quán)平均值代替在區(qū)間上的平均變化率，近似解的精度應(yīng)更高。下面將要介紹的Runge—Kutta法就是基于上述想法得到的?！?　Runge—Kutta法Rung

8、e—Kutta法是按選取區(qū)間上函數(shù)變化率的個(gè)數(shù)的多少和截?cái)嗾`差的階數(shù)來區(qū)分的一系列方法，如１二階的Runge—Kutta法（改進(jìn)的Euler方法）（25）２三階的Runge—Kutta法（26）３四階的Runge—Kutta法1)古典形式（27）2