實變函數(shù)復(fù)習(xí)

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1、5675實變函數(shù)期末復(fù)習(xí)(2014.1)一、選擇題1、下列各式正確的是()ooOO(A)limA=unA；h—><*>n=lk-n(C)limA=nuA■z?=lk=ttoooo(B)lirn=nuAk:zt—>cozi=lk=n2、設(shè)P為Cantor集，則下列各式不成立的是()(A)~P=c(B)mP=Q(C)P=P(D)P=P3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設(shè)｛/?(叫是￡上的e

2、有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是()(A)若人⑺二/⑺，貝IJ人⑺4/(x)(B)sup｛/?(x)｝是可測函數(shù)H(C)iijf｛//x)｝是可測函數(shù)；(D)若乂U)=>/Cr)，則/(X)可測5、設(shè)f(x)是［?，糾上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是()(A)/⑺在上有界(B)/⑺在Uz，/?j上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)(C)/⑺在［0］上L可積(D)￡/’⑺辦=/0)-/⑻6、設(shè)A/，；V是兩集合，則()(A)M(B)N(C)MnN(D)07.下列說法不正確的是()(A)A的任一領(lǐng)域內(nèi)都有￡中無窮多個點，則6是￡的聚點(B)P0的任一領(lǐng)域內(nèi)至

3、少有一個￡中異于P0的點，則/>0是￡的聚點(A)存在￡中點列RJ，使/H，則忍是￡的聚點(B)內(nèi)點必是聚點7.下列斷言()是正確的。(A)任意個開集的交是開集；(B)任意個閉集的交是閉集；(C)任意個閉集的并是閉集；(D)以上都不對；8.下列斷言中()是錯誤的。(A)零測集是可測集；(B)可數(shù)個零測集的并是零測集；(C)任意個零測集的并是零測集；(D)零測集的任意子集是可測集；9.若/(x)是可測函數(shù)，則下列斷言()是正確的(A)/(%)在[?，/?]L-可積<=>

4、/(x)

5、在[a，Z?]L-可積;(B)/(X)在[67,/?]/?-

6、口J‘積<=>

7、/(X)

8、在[“，/?]/?-可釈(C)/(X)在[6Z,/?]/.-可積/(X)I在[6Z，/?]/?-可積；(D)/(X)在(《，+oo)/?-廣義可積、4/O)在(a,+00)1-可積10.設(shè)=[丄，2+(-1)%"=1，2<..，貝0()n(A)limA,,=[0,1](B)limAM=(0,1]/J—>oo/J一(C)liniA,=(0,3]H—(D)limAw=(0,3)12、設(shè)￡是詠1]上有理點全體，則下列各式不成立的()(A)E=[0,I](B)E=0(C)￡=[0,1](D)mE=113、下列說法不正確的

9、是()(A)若Acfi，則(B)存限個或可數(shù)個零測度集之和集仍為零測度集(C)可測集的任何子集都可測(D)凡幵集、閉集皆可測14、設(shè)｛￡?｝是一列可測集，]￡2]且"屯<+00，則有()(A)45e，!oo=WramEn00(C)mn￡

10、(A)/(X)在［6z，/)l上L可積(B)/(x)在［(/,/?］上/?可釈(C)，⑴在k，Z?j上L可積(D)/⑺在上絕對連續(xù)17.設(shè)/(x)在￡上［可積，則下面不成立的是()(A)/(%)在￡上可測(B)/(%)在￡上&e.有限(C)/⑺在￡上有界(D)f(x)在￡上L可積二、填空題1、(CvAuCvB)n(A-(A-B))=2、設(shè)￡是［0，1］上右理點全體，貝lj￡’=,E=,E=.3、設(shè)￡是/?。中點集，如果對任一點集：T都，則稱￡是1可測的。4、/Cr)可測的條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要'“

11、充要”)5、設(shè)/U)為卜，叫上的有限函數(shù)，如果對于的一切分劃，使，則稱/⑴為上的有界變差函數(shù)。6、設(shè)A"=［—，2—］，"=1，2,…，則limA"=。A277?:—>

12、數(shù)求出積分值。4、求極限limf1—sin3nxdx.n^°°J01+n~x~四、證明1、試證(0，l)?［O，1J2、設(shè)f(x)是(-oo，+oo)上的實值連續(xù)函數(shù)，則對任意常數(shù)c,E={x