食餌——捕食者數(shù)學(xué)模型(1)

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1、食餌——捕食者數(shù)學(xué)模型摘要：在自然界不同種群之間存在一種既有依存，又相互制約的生存方式。種群甲靠豐富的自然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌—捕食者系統(tǒng)。為了分析他們之間數(shù)量的變化關(guān)系，以及它們之間數(shù)量達到平衡的情況。本文根據(jù)它們之間的特殊關(guān)系與這種潛在的規(guī)律，建立了具有自滯作用的食餌—捕食者模型。我們利用matlab軟件求微分方程的數(shù)值解，通過對數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察猜測解析構(gòu)造，然后研究平衡點及相軌線的形狀，驗證猜測的正確性關(guān)鍵詞：自滯作用數(shù)值解matlab平衡點相軌線分析穩(wěn)定性一、問題重述自然界不同種群之間存在一種既有依存，又相互制約的生存方式。種群甲靠豐富

2、的自然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌—捕食者系統(tǒng)。為了分析他們之間數(shù)量的變化關(guān)系，以及它們之間數(shù)量達到平衡的情況。解釋平衡點穩(wěn)定的實際意義，對模型進行相軌線分析來驗證理論分析的正確性，并用matlab軟件畫出圖形。二，問題背景一次世界大戰(zhàn)期間地中海漁業(yè)的捕撈量下降（食用魚和鯊魚同時捕撈），但是其中鯊魚的比例卻增加，這是為什么？Volterra建立的模型回答了這個問題三，問題分析首先，在復(fù)雜的自然界中，存在著許多影響種群發(fā)展的因素。假如給食餌（食用魚）和捕食者（鯊魚）一個理想的環(huán)境，它們是呈J形增長的?，F(xiàn)實情況中，由于受到環(huán)境的限制，種群增長一般符合阻滯增長的

3、模型。我們利用軟件matlab求出微分方程的數(shù)值解，并通過對數(shù)值和圖形觀察做出猜測，然后分析相軌線，驗證猜測的的正確性。最后對數(shù)學(xué)模型進行修改和確定。四、基本假設(shè)1，假設(shè)它們是處于封閉的自然條件下，人類活動對其生存不產(chǎn)生影響2，假設(shè)食餌和捕食者在封閉的環(huán)境中可以正常生長，沒有疾病等促使他們死亡3，假設(shè)食餌和捕食者在各年齡段中的分布率不變，即年齡結(jié)構(gòu)不變，并采用各種措施一直維持這以結(jié)構(gòu)4，假設(shè)捕食者離開食餌無法生存5，食餌和捕食者不會因為捕食關(guān)系導(dǎo)致物種滅絕五，符號說明X（t）：食餌（食用魚）在時刻t的數(shù)量Y（t）：捕食者（鯊魚）在時刻t的數(shù)量r1：食餌在獨立生存時以

4、指數(shù)規(guī)律增長，（相對增長率）r2：捕食者獨立生存時以指數(shù)規(guī)律增長，（相對增長率）N1：食餌的最大容量N2：捕食者的最大容量1：單位數(shù)量乙（相對于N2）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位甲（相對于N1）消耗的供養(yǎng)甲食物量1倍2：單位數(shù)量甲（相對于N1）提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位乙（相對于N2）消耗的供養(yǎng)甲食物量2倍d：捕食者離開時獨立存在的死亡率六，模型建立食餌（甲）數(shù)量x（t），捕食者（乙）數(shù)量y（t）甲獨立生存的增長率r=rx乙使甲的增長率減小，減小量與y成正比（t）=（r-ay）x=rx-axy（1）a~捕食者掠取食餌的能力乙獨立生存的死亡率d=-dy甲使乙的死亡率減小

5、，減小量與x成正比（t）=-（d-bx）y=-dy+bxy（2）b~食餌供養(yǎng)捕食者的能力方程（1），（2）無解析6.1模型建立我們考慮自身的阻滯增長作用，建立以下模型1（t）=r1x1（1--1）(3)2(t)=r2x2(-1+2-)(4)6.2模型求解利用數(shù)學(xué)軟件matlab分別求解（3），（4）兩個微分方程的數(shù)值解。記食餌和捕食者的初始數(shù)量為X（0）=x0y（0）=y0求數(shù)值解（t），（t）及相軌線y（x），設(shè)r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab軟件編制程序如下：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot

6、=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];functionxdot=shier(t,x)ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,s],plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:2)),grid,可得數(shù)值解（t），（t）及相軌線y（x）數(shù)值解（t），（t）的圖形相軌線y（x）的圖形根據(jù)圖形和數(shù)值結(jié)果可以猜測，x（t），y（t）是周期函數(shù)，相應(yīng)的y（x）是封閉曲線，從數(shù)值解近似的定出周期為

7、10.7，x的最大最小值分別為99.3和2.0，y的最大值最小值分別為28.4和2.0.并且用數(shù)值積分容易算出x（t），y（t）在一個周期的平均值為=25，=10。七、模型分析、評價及改進7.1平衡點及穩(wěn)定性分析首先求得（3），（4）方程的兩個平衡點為P（d

8、b，r

9、a），p’（0，0）（5）對于p’，q﹤0，p’不穩(wěn)定；對于p，p=0，q﹥0，處于臨界狀態(tài)，不能用判斷線性方程平衡點穩(wěn)定性的準則研究非線性方程，所以用相軌線分析解決7.2用相軌線分析的穩(wěn)定性消去dt得取指數(shù)，c由初始條件確定為了從理論上驗證y（x）是封閉曲線，記↓↓f（x）g（y）可以用軟件畫出它