泰勒公式及其應(yīng)用論

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1、本科畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))論文題目：泰勒公式及其應(yīng)用學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：指導(dǎo)教師：完成日期：2012年5月20日泰勒公式及其應(yīng)用內(nèi)容摘要本文介紹泰勒公式及其應(yīng)用，分為兩大部分：第一部分介紹了泰勒公式的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，包括帶Lagrange余項(xiàng)、帶Peano余項(xiàng)兩類不同泰勒公式；第二部分通過詳細(xì)的例題介紹了泰勒公式在八個(gè)方面的應(yīng)用.通過本文的閱讀，可以提高對(duì)泰勒公式及其應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，明確其在解題中的作用，為我們以后更好的應(yīng)用它解決實(shí)際問題打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).關(guān)鍵詞：泰勒公式Lagrange余項(xiàng)Peano余項(xiàng)應(yīng)用Th

2、eTaylorFormulaandTheApplicationOfTaylorFormulaAbstractThispaperfocusesonTaylorformulaandtheapplicationofTaylorformula.Ithastwoparts.ThefirstpartofthispaperintroducesthebasicknowledgeoftheTaylorformula,IncludingTaylorformulawithLagrangeresidualtermandwithPeanoresi

3、dualterm.Withthedetailedexamples,ThesecondpartintroduceseightapplicationsofTaylorformula.Byreadingthispaper,youcanbuildapreliminaryunderstandingofTaylorformula,definethefunctioninproblemsolving,inthelaterapplicationthatcanbeagoodreference.KeyWords:TaylorformulaLa

4、grangeresidualtermPeanoresidualtermapplication目錄一、泰勒公式1（一）帶Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式1（二）帶Peano余項(xiàng)的泰勒公式2二、公式的應(yīng)用3（一）、泰勒公式在近似運(yùn)算上的應(yīng)用3（二）、泰勒公式在求極限中的應(yīng)用5（三）、泰勒公式在方程中的應(yīng)用6（四）、泰勒公式在中值公式證明中的應(yīng)用8（五）、泰勒公式在有關(guān)于界的估計(jì)中的應(yīng)用9（六）、泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用10（七）、泰勒公式在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用11（八）、泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)值中的應(yīng)用13三、結(jié)論14參考文獻(xiàn)15序

5、言泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù).這種化繁為簡(jiǎn)的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿.因?yàn)樘├展皆诮鉀Q一些數(shù)學(xué)問題時(shí)的確有著不可替代的作用，故有關(guān)它的理論在教材中一般都有比較詳細(xì)的介紹，而關(guān)于它的應(yīng)用則介紹甚少或不全面.本文比較詳細(xì)地介紹了泰勒公式在近似計(jì)算、求極值、方程、證明中值公式、關(guān)于界的估計(jì)、證明不等式、級(jí)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)值等方面的應(yīng)用.作者在閱讀了大量參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過例題給出了泰勒公式的許多應(yīng)用，使我們能更直接的看到泰勒公式在各方面的運(yùn)用.一、

6、泰勒公式對(duì)于函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù).由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個(gè)次多項(xiàng)式，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式.泰勒公式根據(jù)所帶的余項(xiàng)的不同有不同的定義.泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類，一類是定量的，一類是定性的，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.下面我們來介紹一下：（一）帶Lagrange余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)于這種泰勒公式，Lagrange余項(xiàng)是一種定量形式.定理1若函數(shù)在上存在直到階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得，該式稱為（帶有Lagrange余項(xiàng)的）泰勒公式.證明作輔助函數(shù)，，所以要證明的式子即為.不妨設(shè)

7、，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又因，所以由柯西中值定理證得，其中.所以定理1成立.（二）帶Peano余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)于這種泰勒公式，Peano余項(xiàng)是一種定性形式.定理2若函數(shù)在點(diǎn)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有，即，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的（帶有Peano余項(xiàng)的）泰勒公式，該公式定性的說明當(dāng)趨于時(shí)，逼近誤差是較高階的無窮小量.證明設(shè)，，現(xiàn)在只需證.由可知，.并易知，因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng)且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)（L'Hospital）法則次，得到所以定理2成立.當(dāng)時(shí)，得到泰勒公式，該式稱為（帶有Lagrange余

8、項(xiàng)的）麥克勞林公式.當(dāng)上式中時(shí)有，它稱為（帶有Peano余項(xiàng)的）麥克勞林公式.二、公式的應(yīng)用（一）、泰勒公式在近似運(yùn)算上的應(yīng)用利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算，利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計(jì)算式為，其誤差是余項(xiàng).例1：計(jì)算的值，使其誤差不超過.解應(yīng)用泰勒公式有，，估，當(dāng)時(shí)，便有，從而略去而求