催化數(shù)形之結(jié)合.doc

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1、聯(lián)想為媒-----催化數(shù)形之結(jié)合312353浙江省上虞市春暉中學(xué)王啟東數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，在解題中運用數(shù)形結(jié)合，常?？梢詢?yōu)化解題思路，簡化解題過程。但問題在解題過程中如何進(jìn)行數(shù)形結(jié)合呢？即怎樣催化數(shù)與形的結(jié)合呢？最好的方法就是運用數(shù)形結(jié)合的催化劑——聯(lián)想，運用聯(lián)想不但可以催化數(shù)與形的結(jié)合，而且可以培養(yǎng)我們的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力。本文就如何以聯(lián)想為媒，介紹一些常用的聯(lián)想策略。一、聯(lián)想圖形的交點例1、（04湖南高考）設(shè)函數(shù)，若則關(guān)于的方程的解的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4分析：判定方程有幾個實根，直接求解難且繁！如能聯(lián)想圖形的交點進(jìn)行

2、數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形來解決，則簡潔明了。的對稱軸為即又從而作出的圖象，可知方程有3個解。例2、（05上海高考題）設(shè)定義域為函數(shù)，則關(guān)于的方程有7個不同實數(shù)解的充要條件是（）分析：同上題方法，聯(lián)想圖象的交點，由的圖象可知要使方程有7個解，應(yīng)有有3個解，有4個解。故選（C）二、聯(lián)想絕對值的幾何意義例3、（03高考）已知，設(shè)：函數(shù)在上單調(diào)遞減，：不等式的解集為，如果與有且僅有一個正確，試求的范圍。分析：由的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想絕對值的幾何意義，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形可巧妙地確定的范圍。避免繁瑣的運算。：不等式的幾何意義為：在數(shù)軸上求一點，使到的距離之和的最小值大于1，而到二點的

3、最短距離為，即而：函數(shù)在上單調(diào)遞減，即由題意可得：三、聯(lián)想一次函數(shù)例4、已知，求證：分析：本題如直接證明較難，聯(lián)想一次函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形。把看成變元，看成常數(shù)，構(gòu)造一次函數(shù)而又又（2）令同理可得從而即四、聯(lián)想二次函數(shù)例5、已知關(guān)于的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為分析：直接求解，繁難！。由方程聯(lián)想二次函數(shù)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形，則簡潔明了。設(shè)。又為偶函數(shù)，由圖可知五、聯(lián)想反函數(shù)的性質(zhì)例6、方程的實根分別為，則=分析：本題不好求解，聯(lián)想原函數(shù)與反函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形可巧妙求解令互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，設(shè)即六、聯(lián)想函數(shù)的單調(diào)性

4、例7、已知實數(shù)（為自然對數(shù)的底），證明：分析：本題直接證較難，，利用函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，以數(shù)助形可輕松獲證考慮函數(shù)在上的單調(diào)性即在上單調(diào)遞減，七、聯(lián)想函數(shù)奇偶性例8、（05天津高考）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線對稱，則分析：本題由于不明確，故的函數(shù)值不好直接求解。若能聯(lián)想到奇函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，以數(shù)助形來解決，則簡潔明了。則可知，又且的圖象關(guān)于直線對稱，則奇函數(shù)可得：，則又由對稱性知：同理：0八、聯(lián)想斜率公式例9、實系數(shù)方程的一根在0和1之間，另一根在1和2之間，求的取值范圍。分析：這個問題表面上看是方程、不等式問題，但直接求解

5、麻煩！數(shù)形結(jié)合由的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想二次函數(shù)性質(zhì)及的幾何意義來求解，以形助數(shù)，則簡潔明了。令，則由已知有得到這個二元一次不等式組的解為內(nèi)的點的集合由的幾何意義為過點和點的直線的斜率由此可以看出：即的取值范圍是。例10、計算：分析：本題直接用三角公式計算較繁！如能由的結(jié)構(gòu)形式聯(lián)想斜率公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，即可巧妙探求。本式可以看成二點連線的斜率，如圖，借助單位圓，則，設(shè)傾斜角為則九、聯(lián)想兩點間的距離公式例11、設(shè)，求證：分析：本題直接證明較繁！如能由的結(jié)構(gòu)形式，聯(lián)想到兩點間的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則抓住了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，解法新穎，巧妙簡潔。不妨設(shè)，構(gòu)造

6、如圖的，其中則在中，有十、聯(lián)想點到直線的距離公式例12、（02北京高考）已知是直線上的動點，是的兩條切線，是切點，是圓心，求四邊形面積的最小值。分析：直接求解較難，如能聯(lián)想點到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則更簡潔。要使面積最小，只需最小，即定點到定直線上動點距離最小即可即點到直線的距離，而例13、方程表示的曲線是分析：直接化簡較繁！如能聯(lián)想到點到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則簡潔明了。原方程可化為：即動點到定點的距離與到定直線的距離相等方程表示的曲線是拋物線十一、聯(lián)想直線的截距例14、已知，求的取值范圍。分析：此題直接求解較難，數(shù)形結(jié)合聯(lián)想直線

7、的截距。結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系即可求?？煽醋餍甭蕿?2，過半圓上點的直線在軸上的截距，由圖可知：即注：本題也可用三角換元。例15、求函數(shù)的最值。分析：等式右邊根號內(nèi)同為的一次式，如簡單的換元無法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，故用常規(guī)方法比較難。如能聯(lián)想到直線的截距，數(shù)形結(jié)合換元后，以形助數(shù)，則可輕松解決。令，則所函數(shù)化為以為參數(shù)的直線族，它與橢圓在第一象限的部分有公共點又十二、聯(lián)想定比分點坐標(biāo)公式例16、已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，實數(shù)，，，若，則（）（05年遼寧高考）A.B.C.D.分析：本題如何探求，不知道，直接求解困難。若能聯(lián)想到定比分點坐標(biāo)公式，數(shù)形結(jié)合，以形助

8、數(shù)，則很易求。不妨設(shè)，易知為有向線段的