奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)：行程與工程

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1、第21講行程與工程內(nèi)容概述運(yùn)動(dòng)路線或路況復(fù)雜，與周期性或數(shù)論知識(shí)相關(guān)聯(lián)，需進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)等具有相當(dāng)難度的行程問題．工作效率發(fā)生改變，要完成的項(xiàng)目及參加工作的對(duì)象較多的工程問題．典型問題1。如圖21-l，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡.小張和小王在上坡時(shí)步行速度是每小時(shí)4千米，平路時(shí)步行速度是每小時(shí)5千米，下坡時(shí)步行速度是每小時(shí)6千米．小張和小王分別從A和D同時(shí)出發(fā)，1小時(shí)后兩人在E點(diǎn)相遇．已知E在BC上，并且E至C的距離是B至C距離的．當(dāng)小王到達(dá)A后9分鐘，小張到達(dá)D．那么A至D全程長(zhǎng)是多少千米?【分析與解】BE是BC的，CE是BC的，說(shuō)明DC這段下坡，比AB這段下坡所用的時(shí)

2、間多，也就是DC這一段，比AB這一段長(zhǎng)，因此可以在DC上取一段DF和AB一樣長(zhǎng)，如下圖：另外，再在圖上畫出一點(diǎn)G，使EG和EC一樣長(zhǎng)，這樣就表示出，小王從F到C.小張從B到G．小王走完全程比小張走完全程少用9分鐘，這時(shí)因?yàn)樾堊逤至F是上坡，而小王走F至C是下坡(他們兩人的其余行程走下坡、平路、上坡各走一樣多)．因此，小王從F至C，走下坡所用時(shí)間是9÷=18(分鐘)．因此得出小張從B至G也是用18分鐘，走GE或CE都用6分鐘．走B至C全程(平路)要30分鐘．從A至曰下坡所用時(shí)間是60-18-6=36(分鐘)；從D至C下坡所用時(shí)間是60-6=54(分鐘)；A至D全程長(zhǎng)是(36+54)×

3、+30×=11.5千米．2．如圖2l-2，A，B兩點(diǎn)把一個(gè)周長(zhǎng)為l米的圓周等分成兩部分．藍(lán)精靈從B點(diǎn)出發(fā)在這個(gè)圓周上沿逆時(shí)針方向做跳躍運(yùn)動(dòng)，它每跳一步的步長(zhǎng)是米，如果它跳到A點(diǎn)，就會(huì)經(jīng)過特別通道AB滑向曰點(diǎn)，并從B點(diǎn)繼續(xù)起跳，當(dāng)它經(jīng)過一次特別通道，圓的半徑就擴(kuò)大一倍．已知藍(lán)精靈跳了1000次，那么跳完后圓周長(zhǎng)等于多少米?【分析與解】×4=即藍(lán)精靈跳4次到A點(diǎn)．圓半徑擴(kuò)大一倍即乘以2后，跳8次到A點(diǎn)．圓半徑乘以4后，跳16次到A點(diǎn)．依次類推，由于4+8+16+32+64+128+256+492=1000，所以有7次跳至A點(diǎn)．1000次跳完后圓周長(zhǎng)是1×=128米．3．已知貓跑5步的路程

4、與狗跑3步的路程相同；貓跑7步的路程與兔跑5步的路程相同．而貓跑3步的時(shí)間與狗跑5步的時(shí)間相同；貓跑5步的時(shí)間與兔跑7步的時(shí)間相同，貓、狗、兔沿著周長(zhǎng)為300米的圓形跑道，同時(shí)同向同地出發(fā)．問當(dāng)它們出發(fā)后第一次相遇時(shí)各跑了多少路程?【分析與解】方法一：由題意，貓與狗的速度之比為9:25，貓與兔的速度之比為25:49．設(shè)單位時(shí)間內(nèi)貓跑1米，則狗跑米，兔跑米．狗追上貓一圈需300÷(-1)=單位時(shí)間，兔追上貓一圈需300÷(-1)=單位時(shí)間．貓、狗、兔再次相遇的時(shí)間，應(yīng)既是的整數(shù)倍，又是的整數(shù)倍.與的最小公倍數(shù)等于兩個(gè)分?jǐn)?shù)中，分子的最小公倍數(shù)除以分母的最大公約數(shù),即=8437.5．上式表

5、明，經(jīng)過8437.5個(gè)單位時(shí)間，貓、狗、兔第一次相遇．此時(shí)，貓跑了8437.5米，狗跑了8437.5×=23437.5米，兔跑了8437.5×=16537．5米．方法二：有貓跑35步的路程與狗跑21步的路程，兔跑25步的路程相；而貓跑15步的時(shí)間與狗跑25步的時(shí)間，兔跑21步的時(shí)間相同．所以貓、狗、兔的速度比為，它們的最大公約數(shù)為.即設(shè)貓的速度為，那么狗的速度為，則兔的速度為．于是狗每跑300÷(625-225)=單位時(shí)追上貓；兔每跑300÷(441-225)=單位時(shí)追上貓．而，所以貓、狗、兔跑了單位時(shí)，三者相遇．有貓跑了×225=8437.5米，狗跑了×625=23437.5米，兔

6、跑了×441=16537.5米．評(píng)注：方法一、方法二中的相遇時(shí)間一個(gè)是8437.5單位，一個(gè)是單位，可是答案卻是一樣的，為什么呢?在方法二中，如果按下面解答會(huì)得到不同答案，又是為什么?哪個(gè)方法有問題呢?自己試著解決，并在今后的學(xué)習(xí)中避免這種錯(cuò)誤．于是狗每跑300÷(625-225)×625=米追上貓；兔每跑300÷(441-225)×441=米追上貓；而，…4．一條環(huán)形道路，周長(zhǎng)為2千米．甲、乙、丙3人從同一點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，每人環(huán)行2周．現(xiàn)有自行車2輛，乙和丙騎自行車出發(fā)，甲步行出發(fā)，中途乙和丙下車步行，把自行車留給其他人騎．已知甲步行的速度是每小時(shí)5千米，乙和丙步行的速度是每小時(shí)4千米

7、，3人騎車的速度都是每小時(shí)20千米．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種走法，使3個(gè)人2輛車同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．那么環(huán)行2周最少要用多少分鐘?【分析與解】如果甲、乙、丙均始終騎車，則甲、乙、丙同時(shí)到達(dá)，單位“1”的路程只需時(shí)間；乙、丙情況類似，所以先只考慮甲、乙，現(xiàn)在甲、乙因?yàn)椴叫休^騎車行走單位“1”路程，耽擱的時(shí)間比為：而他們需同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)，所以耽擱的時(shí)間應(yīng)相等．于是步行的距離比應(yīng)為耽擱時(shí)間的倒數(shù)比，即為4:3；因?yàn)楸那樾闻c乙一樣，所以甲、乙、丙三者步行距離比為4:3:3．因