奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第二講 數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)

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1、第二講數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運(yùn)算定律．例1數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個(gè)點(diǎn)?解：方法1：從上到下一行一行地?cái)?shù)，見下圖．點(diǎn)的總數(shù)是：5+5+5+5=5×4．方法2：從左至右一列一列地?cái)?shù)，見下圖．點(diǎn)的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5·因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：5×4=4×5從這個(gè)等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)兩個(gè)數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變.這就是乘法交換律．正因?yàn)檫@樣，在兩個(gè)數(shù)相乘時(shí)，以后我們也可以不再區(qū)分，哪個(gè)是乘數(shù)，哪個(gè)是被乘數(shù)，把兩個(gè)數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律

2、也可以換個(gè)說法：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變.如果用字母a、b表示兩個(gè)因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖．前一塊4行，每行3個(gè)點(diǎn)，共3×4個(gè)點(diǎn)．后一塊4行，每行2個(gè)點(diǎn)，共2×4個(gè)點(diǎn)．兩塊的總點(diǎn)數(shù)=3×4+2×4．因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原圖中總的點(diǎn)數(shù)的多少都是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立。3×4+2×4=5×4．仔細(xì)觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個(gè)數(shù)的關(guān)系：3+2=5所以上面的等式可以寫成：3×4+2×4=(3+2)×4也可以把這個(gè)等式調(diào)過頭來寫成：(3+2)×4=3×4+2×4．這就是

3、乘法對(duì)加法的分配律．如果用字母a、b、c代表三個(gè)數(shù)，那么乘法對(duì)加法的分配律可以表示成下面的形式：，(a+b)c=a×c+b×c分配律的意思是說：兩個(gè)數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積加上第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的積之和．進(jìn)一步再看，分配律是否也適用于括號(hào)中是減法運(yùn)算的情況呢?請(qǐng)看下面的例子：計(jì)算(3—2)×4和3×4=2×4．解：(3—2)×4=1×4=43×4-2×4=12-8=4．兩式的計(jì)算結(jié)果都是4，從而可知：(3—2)×4=3×4-2×4這就是說，這個(gè)分配律也適用于一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的差與第三個(gè)數(shù)相乘的情況．如果用字母a、b、c(假設(shè)a>b)表示三

4、個(gè)數(shù)，那么上述事實(shí)可以表示如下：(a-b)×c=a×c-b×c正因?yàn)檫@個(gè)分配律對(duì)括號(hào)中的“+”和“-”號(hào)都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律．例2數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個(gè)小長方體組成的?解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見上右圖．。第一層4×2個(gè)第二層4×2個(gè)第三層4×2個(gè)三層小長方體的總個(gè)數(shù)(4×2)×3個(gè)．方法2：從左至右一排一排地?cái)?shù)，見下圖．第一排2×3個(gè)第二排2×3個(gè)第三排2×3個(gè)第四排2×3個(gè)四排小長方體的總個(gè)數(shù)為(2×3)×4．若把括號(hào)中的2×3看成是一個(gè)因數(shù)，就可以運(yùn)用乘法交換律，寫成下面的形式：4×(2×3)．因?yàn)椴徽撊藗冊(cè)鯓訑?shù)，原

5、圖中小長方體的總個(gè)數(shù)是一定的，不會(huì)因?yàn)閿?shù)數(shù)的方法不同而變化．把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：(4×2)×3—4×(2×3)．這就是說在三個(gè)數(shù)相乘的運(yùn)算中，改變相乘的順序，所得的積相同．或是說，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘再乘以第三個(gè)數(shù)，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再去乘第一個(gè)數(shù)，積不變，這就乘法結(jié)合律．如果用字母a、b、c表示三個(gè)數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：(a×b)×c=a×(b×c)．巧妙地運(yùn)用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運(yùn)算變得簡潔、迅速．從數(shù)數(shù)與計(jì)數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計(jì)算公式．例3數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)?解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖

6、．總點(diǎn)數(shù)一1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群(但要上下顛倒放置)和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立(見下圖)：三角形點(diǎn)數(shù)=長方形點(diǎn)數(shù)÷2因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9而長方形點(diǎn)數(shù)=10×9=(1+9)×9代入上面的文字公式可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)×9÷2=45．進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來看：方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù)．方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”．經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長方形點(diǎn)群，而長方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來了．即1+2+3+4+5+6+7+

7、8+9=(1+9)×9÷2．這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了．再進(jìn)一步，若脫離開圖形(點(diǎn)群)的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：這個(gè)等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半．或是寫成下面的文字式：和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式．例4數(shù)一數(shù)，下