數(shù)學(xué)建模-淋雨模型

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1、.淋雨量模型一、問題概述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度為v，按以下步驟進行討論[17]：（1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋雨量;（2）、雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為θ，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，ω，θ之間的關(guān)系，問速度v

2、多大，總淋雨里最少。計算θ=0，θ=30°的總淋雨量.（3）、雨從背面吹來，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，ω，α之間的關(guān)系，問速度v多大，總淋雨量最小。計算α=30°的總淋雨量.（說明：題目中所涉及的圖形為網(wǎng)上提供）（4）、以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對（3）作圖（考慮α的影響），并解釋結(jié)果的實際意義.（5）、若雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，試建立模型......二、問題分析淋雨量是指人在雨中行走時全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時間的乘積。可得：

3、淋雨量（V）=降雨量（ω）×人體淋雨面積（S）×淋浴時間（t）①時間（t）=跑步距離（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假設(shè)（1）、將人體簡化成一個長方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，記跑步速度為v；（參考）（2）、假設(shè)降雨量到一定時間時，應(yīng)為定值；（3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步；（4）、問題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因為它可以直觀的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）

4、、模型Ⅰ建立及求解：設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用時間為：t=d/v總降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600(m/s)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446(cm3)=2.44446(L)......（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為θ.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量.（如圖1）設(shè)雨從迎面吹來時與人體夾角為.，且0°<<90°，建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨

5、速的水平分量為且方向與v相反，故人相對于雨的水平速度為：則前部單位時間單位面積淋雨量為：又因為前部的淋雨面積為：，時間為：d/v于是前部淋雨量V2為：即：①（2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量，且與v無關(guān)，所以頂部單位時間單位面積淋雨量為，頂部面積為，淋雨時間為，于是頂部淋雨量為：②由①②可算得總淋雨量:......代入數(shù)據(jù)求得：由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。對函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得：顯然：<0，所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。因此，速度v=vm=5m/s，總淋雨量最小。（Ⅰ）當(dāng)θ=0，

6、代入數(shù)據(jù)，解得：V＝0.0011527778（m3）≈1.153（L）（Ⅱ）當(dāng)θ=30°，代入數(shù)據(jù)，解得：V＝0.0014025(m3)≈1.403（L）（三）、模型Ⅲ建立及求解：若雨從背面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為α則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2）設(shè)雨從背部吹來時與人體夾角為，且0°＜﹤90°,建立a，b，c，d，u，，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來，而對于人頂部的淋雨量V1，它與模型①中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得：......（2）、后部淋雨量：人相對于雨的水平速度為：從而可得，

7、人背部單位時間單位面積淋雨量為：可得人背部淋雨量為：而總淋雨量：V=V1＋V3從而有：③化簡③式得：④代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡得：⑤當(dāng)時。......由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（Ⅰ）、當(dāng)時，且0°＜﹤90°，可得：ccosα＋asinα>0對⑤式求導(dǎo)，易知<0；所以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，因此，總淋雨量最小。（Ⅱ）、當(dāng)v>usinα?xí)r，且0°＜α﹤90°，對⑤式求導(dǎo)，解得：(ⅰ)、當(dāng)1.5sinα－0.2cosα<0時，即：tanα<2/15,