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《習(xí)題答案數(shù)值分析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、第六章習(xí)題解答2、利用梯形公式和Simpson公式求積分的近似值，并估計兩種方法計算值的最大誤差限。解：①由梯形公式：最大誤差限其中，②由梯形公式：最大誤差限，其中，。4、推導(dǎo)中點求積公式證明：構(gòu)造一次函數(shù)P（x），使則，易求得且，令現(xiàn)分析截斷誤差：令由易知為的二重零點，所以可令，構(gòu)造輔助函數(shù)，則易知：其中為二重根有三個零點由羅爾定理，存在從而可知截斷誤差在(a,b)區(qū)間上不變號，且連續(xù)可積，由第二積分中值定理綜上所述證畢6、計算積分，若分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式，問應(yīng)將積分區(qū)間至少剖分多少等分才能保證有六位有
2、效數(shù)字？解：①由復(fù)化梯形公式的誤差限可解得：即至少剖分213等分。②由復(fù)化梯形公式的誤差限可解得：即至少剖分4等分。7、以0，1，2為求積節(jié)點，建立求積分的一個插值型求積公式，并推導(dǎo)此求積公式的截斷誤差。解：在0，1，2節(jié)點構(gòu)造lagrange插值多項式，則有則對上式在[0，3]上求積分，則有其中再分析截斷誤差此處分段處理即1）其中，對于由于在[0，2]上不保持常號故考慮構(gòu)造一個三次多項式滿足下列插值條件：由Hermite插值方法，有則顯然此時在[0，2]上恒小于等于0.于是由第二積分中值定理2）其中顯然在[2，3]上恒正.于
3、是由第二積分中值定理綜上，截斷誤差所以8、（1）試確定下列求積公式中的待定系數(shù)，指出其所具有的代數(shù)精度。解：分別將，x代入求積公式，易知求積公式精確成立。代入，令求積公式精確成立，于是有：可解得：代入，于是有左=右，求積公式成立。代入，于是有，求積公式不精確成立。綜上可知，該求積公式具有三次代數(shù)精度。9、對積分，求構(gòu)造兩點Gauss求積公式，要求：（1）在[0,1]上構(gòu)造帶權(quán)的二次正交多項式；（2）用所構(gòu)造的正交多項式導(dǎo)出求積公式。解：（1）構(gòu)造在[0,1]上構(gòu)造帶權(quán)函數(shù)的正交多項式、、，取、，其中，則。同理，，求的零點得：，
4、求積系數(shù)：（2）求（1）可導(dǎo)出求積公式：11、試用三點Gauss-Legendre公式計算并與精確值比較。解：設(shè)三點Gauss-Legendre求積節(jié)點為：，，相應(yīng)求積系數(shù)為：，，，,，，令則精確值為：ln3=1.09861229，二者誤差：R≈5.7307×10-4。13、對積分導(dǎo)出兩點Gauss求積公式解：在[0，1]上構(gòu)造帶權(quán)的正交多項式、、=1，同理可得求的零點可得以、作為高斯點兩點高斯公式，，應(yīng)有3次代數(shù)精度，求積公式形如將代入上式兩段，聯(lián)立解出：所以所求兩點Gauss求積公式15、利用三點Gauss-Laguerr
5、e求積公式計算積分解：原積分，其中由三點Gauss-Laguerre求積節(jié)點：相應(yīng)求積系數(shù)則16、設(shè)四階連續(xù)可導(dǎo)，。試推導(dǎo)如下數(shù)值微分公式的截斷誤差。解：設(shè)是的過點的2次插值多項式，由Lagrange插值余項（n=2）有，其中若取數(shù)值微分公式則截斷誤差將代入得誤差項中，所以截斷誤差為，即
