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《多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的假設檢驗.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在學術論文-天天文庫。
1、第三章多元正態(tài)總體均值向量和協(xié)差陣的假設檢驗什么是假設檢驗及基本思想、計算步驟，在初等數(shù)理統(tǒng)計中都已做過介紹。多元分析也涉及這方面內(nèi)容，在后面介紹的常用各種統(tǒng)計方法，有時要對總體的均值向量和協(xié)差陣做檢驗，比如，對兩個總體做判別分析時，事先就需要對兩個總體的均值向量做檢驗，看看是否在統(tǒng)計上有顯著差異，否則做判別分析就毫無意義。本章類似一元統(tǒng)計分析中的各種均值和方差的檢驗相應給出多元統(tǒng)計分析中的各種均值向量和協(xié)差陣的檢驗。不論做上述任何檢驗，其基本步驟均可歸納為四步：第一步，提出待檢驗的假設和。第二步，給出檢驗的統(tǒng)計量及它服從的分布
2、。第三步，給定檢驗水平a，查統(tǒng)計量的分布表，確定臨界值，從而得到否定域。第四步根據(jù)樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值，看是否落入否定域中，以便對待判假設檢驗做出決策（拒絕或接受）。由于各種檢驗的計算步驟類似，關鍵在于對不同的檢驗給出不同的統(tǒng)計量，而有關統(tǒng)計量的給出大多用似然比方法得到。本章只側重于解釋選取統(tǒng)計量的合理性，而不給出推導過程，最后給出幾個實例。同時為了說明統(tǒng)計量的分布，自然地給出HotellingT2分布和Wilks分布的定義，它們分別是一元統(tǒng)計中t分布和F分布的推廣?！?.1均值向量的檢驗為了對多元正態(tài)總體均值向量作檢驗，
3、首先需要給出HotellingT2分布的定義。1HotellingT2分布定義設且X與S相互獨立，，則稱統(tǒng)計量的分布為非中心HotellingT2分布，記為。當時，稱服從（中心）HotellingT2分布，記為，由于這一統(tǒng)計量的分布首先由HaroldHotelling提出來的，故稱為HotellingT2分布，值得指出的是，我國著名統(tǒng)計學家許寶馬錄先生在1938年用不同方法也導出T2分布的密度函數(shù)，因表達式很復雜，故略去。在一元統(tǒng)計中，若來自總體的樣本，則統(tǒng)計量：分布其中顯然，與上邊給出的T2統(tǒng)計量形式類似，且。可見，T2分布是
4、一元統(tǒng)計中t分布的推廣?；拘再|：在一元統(tǒng)計中，若統(tǒng)計量分布，則分布，即把t分布的統(tǒng)計量轉化為F統(tǒng)計量來處理，在多元統(tǒng)計分析中T2統(tǒng)計量也具有類似的性質。定理若且X與S相互獨立，令，則這個性質在后面經(jīng)常用到。2均值向量的檢驗設p元正態(tài)總體，從總體中抽取容量為n的樣本。（1）已知時均值向量的檢驗檢驗統(tǒng)計量：（在H0成立時）給出檢驗水平a，查分布表使，可確定出臨界值，再用樣本值計算出，若，則否定H0，否則H0相容。這里要對統(tǒng)計量的選取作兩點解釋，一是說明它為什么取為這種形式。二是說明它為什么服從分布。一元統(tǒng)計中，當已知時，作均值檢驗
5、所取的統(tǒng)計量為：顯然，與上邊給出的檢驗統(tǒng)計量形式相同。另外根據(jù)二次型分布定理：若，則。顯然，。其中，，因此，。（2）未知時均值向量的檢驗檢驗統(tǒng)計量：（在H0成立時）其中給定檢驗水平a，查F分布表，使，可確定出臨界值，再用樣本值計算出，若，則否定，否則相容。這里需要解釋的是，當未知時，自然想到要用樣本協(xié)差陣去代替，因（n-1）S-1是的無偏估計量，而樣本離差陣再根據(jù)HotellingT2分布性質，所以3協(xié)差陣相等時，兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗設且兩組樣本相互獨立，。（1）有共同已知協(xié)差陣時檢驗統(tǒng)計量：（在H0成立時）給出檢驗水平a
6、，查分布表使，可確定出臨界值，再用樣本值計算出，若，則否定H0，否則H0相容。在一元統(tǒng)計中作均值相等檢驗所給出的統(tǒng)計量：顯然，此式恰為上邊統(tǒng)計量當時的情況，不難看出這里給出的檢驗統(tǒng)計量是一元情況的推廣。（2）有共同的未知協(xié)差陣時檢驗統(tǒng)計量：（在H0成立時）其中：給定檢驗水平，查F分布表使，可確定出，再用樣本值計算出F，若，則否定H0，否則H0相容。當兩個總體的協(xié)差陣未知時，自然想到用每個總體的樣本協(xié)差陣和去代替，而從而所以下述假設檢驗統(tǒng)計量的選取和前邊統(tǒng)計量的選取思路是一樣的，以下只提出待檢驗的假設，然后給出統(tǒng)計量及其分布，為節(jié)
7、省篇幅，不做重復的解釋。4協(xié)差陣不等時，兩個正態(tài)總體均值向量的檢驗設且兩組樣本相互獨立，分兩種情況（1）n?=?m令?檢驗統(tǒng)計量：（在H0成立時）（2）不妨假設令檢驗統(tǒng)計量：5多個正態(tài)總體均值向量的檢驗（多元方差分析）多元方差分析是一元方差分析的推廣。為此先復習一下一元方差分析，之后為了對多個正態(tài)總體均值向量作檢驗，自然地先給出Wilks分布的定義。（1）復習一元方差分析（單因素方差分析）設k個正態(tài)總體分別為，從k個總體取ni個獨立樣本如下：……H1：至少存在使檢驗統(tǒng)計量：（在H0成立時）其中……組間平方和……組內(nèi)平方和……總平
8、方和給定檢驗水平,查F分布表使，可確定出臨界值，再用樣本值計算出F值，若則否定H0，否則H0相容。（2）Wilks分布在一元統(tǒng)計中，方差是刻劃隨機變量分散程度的一個重要特征，而方差概念在多變量情況下變?yōu)閰f(xié)差陣。如何用一個數(shù)量指標來反映協(xié)差陣所體現(xiàn)的分散程度呢？有
