專(zhuān)題二 第四講

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1、第四講　函數(shù)與方程、函數(shù)的應(yīng)用1．二次函數(shù)(1)求二次函數(shù)在某段區(qū)間上的最值時(shí)，要利用好數(shù)形結(jié)合，特別是含參數(shù)的兩種類(lèi)型：“定軸動(dòng)區(qū)間，定區(qū)間動(dòng)軸”的問(wèn)題，抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱(chēng)軸．(2)注意三個(gè)“二次”的相互轉(zhuǎn)化解題(3)二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，抓住四點(diǎn)：“開(kāi)口方向、判別式Δ、對(duì)稱(chēng)軸位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)．”2．函數(shù)與方程(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上

2、的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下兩點(diǎn)：①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)．3．函數(shù)模型解決函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域．其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實(shí)際問(wèn)

3、題作答：將數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實(shí)際問(wèn)題作出解答．1．(2012·全國(guó))已知x＝lnπ，y＝log52，z＝e－，則(　　)A．xlne，∴x>1.－∵y＝log52＝，∴

4、b)內(nèi)C．(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)D．(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)答案　A解析　由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，又因f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，因此函數(shù)f(x)的兩零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)，故選A.3．(2011·北京)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已

5、知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是(　　)A．75,25B．75,16C．60,25D．60,16答案　D解析　由函數(shù)解析式可以看出，組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為＝15，故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為＝30，解得c＝60，將c＝60代入＝15，得A＝16.4．(2013·天津)函數(shù)f(x)＝2x

6、log0.5x

7、－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．1B．2C．3D．4答案　B解析　當(dāng)0

8、g0.5x，y＝x的圖象知，在(0,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x>1時(shí)，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1，令f(x)＝0得log2x＝x，由y＝log2x，y＝x的圖象知在(1，＋∞)上有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)在(1，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，故選B.5．(2013·遼寧)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示

9、p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝(　　)A．16B．－16C．a(chǎn)2－2a－16D．a(chǎn)2＋2a－16答案　B解析　f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作f(x)與g(x)的圖象(如圖)．依題意知，函數(shù)H1(x)的圖象(實(shí)線部分)，函數(shù)H2(x)的圖象(虛線部分)．∴H1(x)的最小值A(chǔ)＝f(a＋2)＝－4－4a，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a，因

10、此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.題型一　函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題例1　設(shè)函數(shù)f(x)＝x－lnx(x>0)，則y＝f(x)(　　)A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無(wú)零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)審題破題　可以通過(guò)計(jì)算f，f(1)，f(e)判斷，也可利用函數(shù)圖象．答案　D解析　方法一　因?yàn)閒＝·－ln＝＋1>