多元函數(shù)微分法講義

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1、多元函數(shù)微分法講義第十章多元函數(shù)微分學(xué)§10.1　多元函數(shù)：一、平面點(diǎn)集1、定義：把全體有序?qū)崝?shù)對(duì)組成的集合，稱為二維空間，記為（或），（實(shí)際上這里的二維空間的概念就是解析幾何中的二維空間概念）。下面我們看一看這里的二維空間有一個(gè)什么樣的幾何意義，顯然都唯一對(duì)應(yīng)著直角坐標(biāo)平面的一個(gè)點(diǎn)，反之然，∴中的有序數(shù)對(duì)與直角平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，它們的本質(zhì)是一樣的，可以不加區(qū)別，所以：可以把看成直角坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面也可以看成是二維空間，以后把叫點(diǎn)的坐標(biāo)，而把看成是平面全體點(diǎn)的集合.2、平面上兩點(diǎn)的距離（由解析幾何知：）：設(shè)中的兩點(diǎn)　，則稱叫P1與P2兩點(diǎn)間的距離.···有叫三角不等

2、式.請(qǐng)同學(xué)們回憶：數(shù)軸上鄰域的概念（一維空間的領(lǐng)域）：3、定義2：設(shè)，以點(diǎn)為中心，為半徑的全體點(diǎn)組成的集合：叫以點(diǎn)為中心，為半徑的圓形領(lǐng)域記為：即·從幾何上看：圓形領(lǐng)域就是平面上的一個(gè)開圓：討論：集合表示一個(gè)什么圖形？以為中心，為邊長(zhǎng)的開矩形的全體點(diǎn)組成的集合叫以為中心的半徑的方形鄰域.∵圓中有方，方中有圓，∴方形領(lǐng)域與圓形領(lǐng)域是等價(jià)的.∴57以后在證明題目時(shí)，可以取圓形領(lǐng)域，也可以取方形領(lǐng)域，都一樣.把圓形領(lǐng)域和方形領(lǐng)域統(tǒng)稱為為心，為半徑的領(lǐng)域，記為.去掉鄰域中心后的集合叫去心領(lǐng)域，記為.討論：去心領(lǐng)域怎樣表示：圓形去心領(lǐng)域，方形去心領(lǐng)域：當(dāng)不需指出半徑時(shí)，領(lǐng)域可簡(jiǎn)寫為有

3、了領(lǐng)域的概念后，就可以定義兩個(gè)特殊的概念：開區(qū)域和閉區(qū)域。3、定義3：設(shè)是平面點(diǎn)集，是平面上一點(diǎn)。1）若，有，則稱是的內(nèi)點(diǎn)。2）若，內(nèi)既含有中的點(diǎn)，同時(shí)又含有不屬于的點(diǎn)，則稱是的界點(diǎn)，并把全體界點(diǎn)組成的集合叫點(diǎn)集的邊界.1）討論：的內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)的區(qū)別在哪里？?jī)?nèi)點(diǎn)是，存在一個(gè)正數(shù)，使以為中心為半徑的領(lǐng)域完全包含在中，若有中的點(diǎn)同時(shí)也有不屬于的點(diǎn)就是界點(diǎn)討論：下面點(diǎn)是內(nèi)點(diǎn)還是界點(diǎn)，為什么？2）的界點(diǎn)有多少個(gè)？都屬于嗎？的邊界是否屬于？（）（2）（1）···3）若，領(lǐng)域內(nèi)含有的無限多個(gè)點(diǎn)，則稱點(diǎn)叫的聚點(diǎn)，（討論如上圖，內(nèi)點(diǎn)是不是聚點(diǎn)？界點(diǎn)呢？（不一定?。┚埸c(diǎn)是否一定屬于？）4）若，

4、使，則稱是有界點(diǎn)集，否則叫無界點(diǎn)集。討論：下面點(diǎn)集是有界點(diǎn)集還不是無界點(diǎn)集？1）＝572）第一象限：＝3）＝4、定義：設(shè)是平面點(diǎn)集：（開、閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域）1）若的任意點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，且的任意兩點(diǎn)都能用屬于的折線連接起來（稱的連通性）則稱是開區(qū)域。（如上圖）2）由開區(qū)域和它的邊界構(gòu)成的區(qū)域G的閉區(qū)域。討論：下列點(diǎn)集是不是開或閉區(qū)域。并指出它的有界性和內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)和界點(diǎn)。1）＝（開區(qū)域，有界…）2）＝3）＝4）＝（閉區(qū)域，無界）5）＝（不是區(qū)域（—？沒有內(nèi)點(diǎn)；只有界點(diǎn)集）6）＝（∵是區(qū)域的邊是，∵表示拋物線下方全體點(diǎn)組成的點(diǎn)集，不含邊界）5、有界區(qū)域的直徑：設(shè)是有界區(qū)域，把叫有界

5、區(qū)域的直徑，記為：：.討論：下列點(diǎn)集的直徑（）＝？1）＝2）長(zhǎng)方形：＝3）是無界區(qū)域（沒有直徑）　　4）,.注：上面的定義及定理（概念）可以推擴(kuò)到n維空間上去.例：描繪下列點(diǎn)集，并指出開、閉性，有界性，聚點(diǎn)、界點(diǎn)及邊界。2）＝3）＝1）＝57解：1）是二維空間的點(diǎn)集，∵，∴點(diǎn)集的邊界是（是無界閉區(qū)域）2）是二維空間的點(diǎn)集，邊界是曲面，∴是橢球內(nèi)部的點(diǎn)，不含托球面上的點(diǎn)，是有界開區(qū)域.3）是的點(diǎn)集，邊界是三個(gè)坐標(biāo)面及平面，∴是這四個(gè)面圍成的四面體的全體點(diǎn)，是有界閉區(qū)域。作業(yè)Ｐ152　　1、557二多元函數(shù)1.二元函數(shù)定義：設(shè)是二維空間的非空子集，若，按某一對(duì)應(yīng)法則，都唯一的對(duì)

6、應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)，，則稱對(duì)應(yīng)法則是定義在上的一個(gè)二元函數(shù)記為，。把叫的定義域，全體函數(shù)值組成立集合：叫函數(shù)的值域。例如：是定義在閉圓的一個(gè)二元函數(shù)。2.二元函數(shù)的圖像設(shè)二元函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然是是平面上的一個(gè)點(diǎn)集。，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)函數(shù)值，于是就確定了中的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)在中變化時(shí)，就得到了中的若干個(gè)點(diǎn)，把這些點(diǎn)組成的集合叫函數(shù)的圖象。一般地二元函數(shù)的圖象是中的一塊曲面。例：判別下列函數(shù)的圖象是什么圖形1）（∵）閉圓上的上半球。2），，∴是在三個(gè)軸上截距為的一個(gè)平面。當(dāng)自變量是三個(gè)時(shí)，叫三元函數(shù)，…是個(gè)時(shí)叫元函數(shù)（見P144定義），.把二元和二元以上的函數(shù)叫多元函數(shù)。為什么要把函數(shù)分為一

7、元和多元呢？因?yàn)橐辉瘮?shù)過渡到二元函數(shù)時(shí)，有些性質(zhì)要發(fā)生變化，但從二元過渡到三、…多元函數(shù)時(shí)，性質(zhì)就完全一樣了.我們知道二元函數(shù)的定義域是中的一個(gè)點(diǎn)集，其圖象是的一塊曲面（一般情況下）三元函數(shù)的的定義域是57的一個(gè)一個(gè)立體，而函數(shù)的圖象是的一個(gè)點(diǎn)集，沒有同和何模型.例：求下列多元函數(shù)的定義域，并指出定義域所表示的圖形，1）　　2）3）解：1）定義域是上以為邊界（不包含邊界）的半平面2）∵　　∴　∴是上以為中心1與2為半徑的閉圓環(huán)。3）∵＝是上以球面為邊界的開球體。例：已知求作業(yè)：Ｐ143　　9,10,11,123.