高考數(shù)學(xué) 玩轉(zhuǎn)壓軸題 專題3.12 綜合求證多變換幾何結(jié)合代數(shù)算

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1、專題3.12綜合求證多變換幾何結(jié)合代數(shù)算【題型綜述】綜合求證問題有以下類型：（1）證明直線過定點，設(shè)出直線方程，利用題中的條件與設(shè)而不求思想找出曲線方程中參數(shù)間的關(guān)系，即可求出定點.(2)定值問題就是證明一個量或表達式的值與其中的變化因素無關(guān)，這些變化的因素可能是直線的斜率、截距，也可能是動點的坐標等，這類問題的一般解法是使用變化的量表示求證目標，通過運算得知求證目標的取值與變化的量無關(guān)．當使用直線的斜率和截距表示直線方程時，在解題過程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系，把雙參數(shù)問題化為單參數(shù)問題解決．（3）恒等式的證明問

2、題，將恒等式轉(zhuǎn)化為常見的弦長、距離之比或向量關(guān)系等問題，進而轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的交點坐標問題，利用設(shè)而不求思想及韋達定理即可證明.(4)幾何圖形性質(zhì)的證明，利用幾何圖形性質(zhì)與向量運算的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為向量的運算或直線的斜率關(guān)系，再用直線與圓錐曲線的交點坐標問題，利用設(shè)而不求思想及韋達定理即可證明.【典例指引】類型一證明分點問題例1【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過點P（1，1）.過點（0，）作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點.（Ⅰ）求拋

3、物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點..直線ON的方程為，點B的坐標為.因為，所以.故A為線段BM的中點.類型二幾何證明問題例2.【2015高考湖南，理20】已知拋物線的焦點也是橢圓的一個焦點，與的公共弦的長為.（1）求的方程；（2）過點的直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，且與同向（ⅰ）若，求直線的斜率（ⅱ）設(shè)在點處的切線與軸的交點為，證明：直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍角三角形（ii）由得，∴在點處的切線方程為，即，令，得，即，∴，而，于是，因此是銳角，從而是鈍角.，故直線繞點旋轉(zhuǎn)時，總是鈍

4、角三角形.類型三等式證明例3【2015高考上海，理21】已知橢圓，過原點的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，記得到的平行四邊形的面積為.（1）設(shè)，，用、的坐標表示點到直線的距離，并證明；（2）設(shè)與的斜率之積為，求面積的值.類型四長度關(guān)系證明例4.【2016高考四川】已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．【擴展鏈接】1.圓錐曲線以P(x0，y0)(y

5、0≠0)為中點的弦所在直線的斜率分別是：k＝－(橢圓＋＝1)，k＝(雙曲線－＝1)，k＝(拋物線y2＝2px)，其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦端點的坐標．2.給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角,給出,等于已知是銳角；3.在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;4.在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;【同步訓(xùn)練】1．如圖，圓C與x軸相切于點T（2，0），與y軸正半軸相交于兩點M，N（點M在點N的下方），且

6、MN

7、=3．（1）求圓C的方程；（2）過點M任作一條直線與橢圓相交于兩點A、B

8、，連接AN、BN，求證：∠ANM=∠BNM．【思路點撥】（1）設(shè)圓C的半徑為r（r＞0），依題意，圓心坐標為（2，r），根據(jù)

9、MN

10、=3，利用弦長公式求得r的值，可得圓C的方程．（2）把x=0代入圓C的方程，求得M、N的坐標，當AB⊥y軸時，由橢圓的對稱性可知∠ANM=∠BNM，當AB與y軸不垂直時，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，代入橢圓的方程，利用韋達定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．綜上所述，∠ANM=∠BNM．2.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）經(jīng)過（1，1）與（，）兩點．（1）求橢圓C的方程

11、；（2）過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，橢圓C上一點M滿足

12、MA

13、=

14、MB

15、．求證：++為定值．【思路點撥】（1）把（1，1）與（，）兩點代入橢圓方程解出即可．（2）由

16、MA

17、=

18、MB

19、，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關(guān)于原點對稱．①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點；同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點；直接代入計算即可．②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），則直線OM的方程為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），與

20、橢圓的方程聯(lián)立解出坐標，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．∴=，同理，所以=2×+=2，故=2為定值．3.在平面直角坐標系xOy中，動點p（x，y）（x≥0）滿足：點p到定點F（，0）與到y(tǒng)軸的距離之差為．記動點p的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）過點F的直線交曲線C于A、B兩點，過點A和原點O的直