2013高考數(shù)學(xué) 常見難題大盤點 數(shù)列

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1、2013高考數(shù)學(xué)常見難題大盤點：數(shù)列1.已知函數(shù)，是方程f(x)＝0的兩個根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，(n＝1，2，……)(1)求的值；(2)證明：對任意的正整數(shù)n，都有＞a；解析：(1)∵，是方程f(x)＝0的兩個根，∴；(2)，＝，∵，∴有基本不等式可知(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)，∴同，樣，……，(n＝1，2，……)，2.已知數(shù)列的首項（a是常數(shù)，且），（），數(shù)列的首項，（）。（1）證明：從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項和，且是等比數(shù)列，求實數(shù)的值；（3）當(dāng)a>0時，求數(shù)列的最小項。分析：第（1）問用定義證明，進一步第（2）問

2、也可以求出，第（3）問由的不同而要分類討論。解：（1）∵∴　　　(n≥2)由得，，∵，∴，即從第2項起是以2為公比的等比數(shù)列。（2）當(dāng)n≥2時，∵是等比數(shù)列,∴(n≥2)是常數(shù)，∴3a+4=0，即。（3）由（1）知當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列為2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，……顯然最小項是前三項中的一項。當(dāng)時，最小項為8a-1；當(dāng)時，最小項為4a或8a-1；當(dāng)時，最小項為4a；當(dāng)時，最小項為4a或2a+1；當(dāng)時，最小項為2a+1。點評：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性?？键c二：求數(shù)列的通項與求和1.已知數(shù)

3、列中各項為：12、1122、111222、……、……（1）證明這個數(shù)列中的每一項都是兩個相鄰整數(shù)的積.（2）求這個數(shù)列前n項之和Sn.分析：先要通過觀察，找出所給的一列數(shù)的特征，求出數(shù)列的通項，進一步再求和。解：（1）記：A=,則A=為整數(shù)=A(A+1)，得證(2)點評：本題難點在于求出數(shù)列的通項，再將這個通項“分成”兩個相鄰正數(shù)的積，解決此題需要一定的觀察能力和邏輯推理能力。1.已知數(shù)列滿足，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列的前項和為．求證：對任意的，．分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的

4、數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：（Ⅰ），，又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．，　即.（Ⅱ）．．（Ⅲ），．當(dāng)時，則．，對任意的，．點評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，這將到下一考點要重點講到。考點三：數(shù)列與不等式的聯(lián)系2.已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列{an}的首項.⑴求函數(shù)的表達式；⑵求證：；分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解：⑴又∵為銳角∴∴⑵∵∴

5、都大于0∴∴點評：把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。1.已知數(shù)列滿足（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，證明：是等差數(shù)列；（Ⅲ）證明：分析：本例（1）通過把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項間的關(guān)系；第（3）問關(guān)鍵在如何放縮。解：（1），故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。，（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列（3）設(shè)，則點評：數(shù)列中的不等式要用放縮來解決難度就較大了，而且不容易把握，對于這樣的題要多探索，多角度的思考問題。1.已知函數(shù)

6、,數(shù)列滿足,;數(shù)列滿足,.求證:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若則當(dāng)n≥2時,.分析：第（1）問是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問進行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時,由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時,結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時,因為0

7、g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.因為,所以,即>0,從而(Ⅲ)因為,所以,,所以————①,由(Ⅱ)知:,所以=,因為,n≥2,所以<<=————②.由①②兩式可知:.點評：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時應(yīng)引起注意。考點四：數(shù)列與函數(shù)、向量等的聯(lián)系1.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項數(shù)列滿足=l，．(1)寫出、的值;(2)試比較與的大小，并說明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=－，記Sn=．證明：當(dāng)n≥2時,Sn＜(2n－1)．分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用

8、的辦法是放縮法。解：(1)，因為所以（2）因為所以,因為所以與同號，因為，…，即（3）當(dāng)時，，所以，所以點評：本題是函數(shù)、不等式的綜合題