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《函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應用文檔-天天文庫。
1、第四節(jié)函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性我們已經(jīng)會用初等數(shù)學的方法研究一些函數(shù)的單調(diào)性和某些簡單函數(shù)的性質(zhì)，但這些方法使用范圍狹小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性.本節(jié)將以導數(shù)為工具，介紹判斷函數(shù)單調(diào)性和凹凸性的簡便且具有一般性的方法.分布圖示★單調(diào)性的判別法★例1★單調(diào)區(qū)間的求法★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★曲線凹凸的定義★例9★例10★曲線的拐點及其求法★例11★例12★例13★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習★習題3-4★返回內(nèi)容要點一、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導.(1)若在(a,b)內(nèi),則函數(shù)在[a,b
2、]上單調(diào)增加;(2)若在(a,b)內(nèi),則函數(shù)在[a,b]上單調(diào)減少.二、曲線的凹凸性：設(shè)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù),則(1)若在(a,b)內(nèi)，則在[a,b]上的圖形是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)，則在[a,b]上的圖形是凸的.三、連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點判定曲線的凹凸性與求曲線的拐點的一般步驟為：(1)求函數(shù)的二階導數(shù)；(2)令，解出全部實根，并求出所有使二階導數(shù)不存在的點；(3)對步驟(2)中求出的每一個點，檢查其鄰近左、右兩側(cè)的符號，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點.例題選講函數(shù)單調(diào)性的判斷例1(E01)討論函
3、數(shù)的單調(diào)性.解又在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.注：函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性.例2(E02)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解當時，導數(shù)不存在.當時，在上單調(diào)減少；當時，在上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為，.注意:區(qū)間內(nèi)個別點導數(shù)為零不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如，但是上單調(diào)增加.注：從上述兩例可見，對函數(shù)單調(diào)性的討論，應先求出使導數(shù)等于零的點或使導數(shù)不存在的點，并用這些點將函數(shù)的定義域劃分為若干個子區(qū)間，然后逐個判斷函數(shù)的導數(shù)在各子區(qū)間的符號，從而確定出函數(shù)在各子區(qū)間上的單調(diào)性，
4、每個使得的符號保持不變的子區(qū)間都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求單調(diào)區(qū)間例3(E03)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解解方程得當時，在上單調(diào)增加；當時，上單調(diào)減少；當時，在上單調(diào)增加；單調(diào)區(qū)間為例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解令解得在處不存在.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少.在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.例5當時，試證成立.證設(shè)則在上連續(xù)，且在內(nèi)可導，在上單調(diào)增加，當時，即證畢.應用單調(diào)性證明例6(E04)試證明：當時,.證作輔助函數(shù)因為在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且當時，又故當時，所以例7(E05)證明方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根.證令因在閉區(qū)間延續(xù)，且根據(jù)零點定理在
5、內(nèi)有一個零點.另一方面，對于任意實數(shù)有所以在內(nèi)單調(diào)增加，因此曲線與軸至多只有一個交點.綜上所述可知，方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實根.例8證明方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實根.證令欲證題設(shè)結(jié)論等價于證在內(nèi)有兩個零點.令因故在內(nèi)有一零點.又因在內(nèi)故在內(nèi)單調(diào)增加，這零點唯一.因此,在內(nèi)有且僅有兩個零點,證畢.例9(E06)判定的凹凸性.解因為所以，題設(shè)函數(shù)在其定義域內(nèi)是凹的.例10(E07)判斷曲線的凹凸性.解當時，曲線在為凸的；當時，曲線在為凹的；注意到點是曲線由凸變凹的分界點.例11(E08)求曲線的拐點及凹、凸區(qū)間.解易見函數(shù)的定義域為令得02/3+0－0+凹的
6、拐點凸的拐點凹的所以，曲線的凹區(qū)間為,凸區(qū)間為拐點為和.例12求曲線的拐點.解令得在內(nèi)曲線有拐點為注：若不存在，點也可能是連續(xù)曲線的拐點.曲線凹凸性判斷例13(E09)求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點.解函數(shù)在處不可導，但時，曲線是凸的，時，曲線是凹的.故點為曲線的拐點課堂練習1.若是否能判定在原點的充分小的領(lǐng)域內(nèi)單調(diào)遞增?2.設(shè)函數(shù)在內(nèi)二階可導,且其中,則是否一定為曲線的拐點?舉例說明.
