定積分及其應(yīng)用(11)

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1、第五章定積分及其應(yīng)用§1.1定積分及應(yīng)用內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖定積分及其應(yīng)用定積分定義可積的條件性質(zhì)計算方法中值定理13條基本性質(zhì)性質(zhì)變上限積分求導(dǎo)定理牛頓一萊布尼茲公式基本方法變量代換湊微分分部積分換元法應(yīng)用微元法幾何應(yīng)用平面圖形面積旋轉(zhuǎn)體及一般立體的體積平面曲線弧長物理應(yīng)用質(zhì)量重心坐標(biāo)轉(zhuǎn)動慣量引力壓力廣義積分第一類廣義積分（區(qū)間無界）第二類廣義積分（被積函數(shù)無界）§1.2內(nèi)容提要與釋疑解難定積分的概念是由求曲邊梯形面積，變力作功，已知變速直線運動的速度求路程，密度不均質(zhì)線段的質(zhì)量所產(chǎn)生。定義設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

2、,b]上有定義，在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)任意插入n-1個分點將[a,b]分成n個小區(qū)間，記，，作乘積（稱為積分元），把這些乘積相加得到和式（稱為積分和式）設(shè)，若·208·極限存在唯一且該極限值與區(qū)是[a,b]的分法及分點的取法無關(guān)，則稱這個唯一的極限值為函數(shù)f(x)在[a,b]上的定積分，記作，即.否則稱f(x)在[a,b]上不可積.注1：由牛頓萊布尼茲公式知，計算定積分與原函數(shù)有關(guān)，故這里借助了不定積分的符號。注2：若存在，區(qū)間[a,b]進行特殊分割，分點進行特殊的取法得到的和式極限存在且與定積分的值相等，但反

3、之不成立，這種思想在考題中經(jīng)常出現(xiàn)，請讀者要真正理解。注3：定積分是否存在或者值是多少只與被積函數(shù)式和積分區(qū)間有關(guān)與積分變量用什么字母表示無關(guān)，即定積分的幾何意義:若f(x)在[a,b]上可積，且則表示曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積.同樣，變力所作的功（其中f(x)是變力）變速直線運動的路程（是瞬時速度），密度不均質(zhì)直線段[,b]的質(zhì)量（其中是線密度）。規(guī)定定性若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[,b]上可積，則f(x)在[,b]上有界，反之不成立。例.事實上，因為不論把[0，1]分割得多么細，在每個小區(qū)間中，總能找到

4、有理數(shù)，無理數(shù)，知知不存在。定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積.定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上只有有限個間斷點且有界，則f(x)在[a,b]上可積.定理若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)，則f(x)在[a,b]上可積定積分的性質(zhì)性質(zhì)1·208·性質(zhì)2（線性運算法則）設(shè)在[a,b]上可積，對任何常數(shù)則.該性質(zhì)用于定積分的計算與定積分的證明.性質(zhì)3（區(qū)間的可加性），若f(x)在以a,b,c為端點構(gòu)成的最大區(qū)間上可積，則不論a,b,c順序如何，有該性質(zhì)用于計算分段函數(shù)的定積分與

5、定積分的證明.性質(zhì)4若f(x)在[a,b]上可積且則.性質(zhì)5若f(x),g(x)在[a,b]上可積且則性質(zhì)6若f(x)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)0則性質(zhì)7若f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)且但,則.性質(zhì)8若f(x)在[a,b]上可積，則.性質(zhì)9若f(x)在[a,b]上可積，m,M是f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小值與最大值，則性質(zhì)4、5、6、7、8、9主要用于定積分不等式的證明及不通過定積分的計算，估計定積分值的范圍.性質(zhì)10（積分中值定理）若f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點，使而稱為

6、f(x)在區(qū)間[a,b]上的平均值，即閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的平均值是注：這里的與是不同的。性質(zhì)11（推廣的積分中值定理），設(shè)在[a,b]上連續(xù)，且g(x)在[a,b]上不變號，則至少存在一點,使柯西----許瓦爾茲（Cauchy—schwarz）·208·性質(zhì)12設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)在[a,b]上連續(xù)，則（1）（2）性質(zhì)13變上限積分求導(dǎo)定理設(shè)f(x)連續(xù)，可導(dǎo)，則§1.3解題基本方法與技巧一、有關(guān)定積分命題的證明利用積分中值理，定積分的13條性質(zhì)，規(guī)定尤其是變上限積分求導(dǎo)定理及微分中值定理

7、，可證明涉及到定積分的有關(guān)命題，包括方程根的存在性，適合某種條件的存在性及定積分的不等式等，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。1．方程根的存在性例1設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明在（0。1）內(nèi)存在一點，使.證由積分中值定理知，在上存在一點c，使且，由f(x)在(0，c)上連續(xù)，在[0，c]內(nèi)可導(dǎo)，f(0)=f(c)，由羅爾定理知至少存在一點使例2設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù)，且，試證：在內(nèi)至少存在兩個不同的，使證法一令則有，又因為,所以存在，使因為若不然，則在內(nèi)或F（x

8、）sinx恒為正或F(x)sinx恒為負，均與矛盾.但當(dāng)時，知再對·208·F(x)在區(qū)間上分別應(yīng)用羅爾定理，知至少存在，使即證法二由知，存在，使，因若不然，則在內(nèi)或f(x)恒為正，或f(x)恒為負，均于矛盾.若在內(nèi)f(x)=0僅有一個實根，則由知，f(x)在內(nèi)與內(nèi)異號，不妨設(shè)在內(nèi)f(x)>0，在內(nèi)f(x)<0，于是再由與及cosx在上單調(diào)性知，得出矛盾，從而知，在內(nèi)除處，至少還有另一實根.故知存在