定積分應(yīng)用及廣義積分

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1、第三章一元積分學(xué)第四節(jié)定積分的應(yīng)用及廣義積分一．定積分的應(yīng)用積分有著廣泛的應(yīng)用。在這里我們要掌握（1）直接用公式計(jì)算（主要是面積、弧長、體積的公式）（2）用元素法計(jì)算。遇到具體問題時(shí)，如能直接用公式，我們就用公式去做，如沒有現(xiàn)成的公式可用或公式忘了，我們可用元素法去解。元素法同樣適用于重積分的應(yīng)用問題，還可以用元素法建立微分方程，所以說掌握了元素法就可以做到以不變應(yīng)萬變。例１．（1）曲線與軸所圍成的圖形的面積為．（２）曲線的弧長為．解：（１）所求的面積為　而（２）弧長為例２．過點(diǎn)作曲線的切線，（１）求切線方程；（２）求由這切線

2、與該曲線及軸圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．解：（１）設(shè)切點(diǎn)為，則有　解得　，那么切線的斜率為切線方程為　，即（３）旋轉(zhuǎn)體的體積為　下面介紹一下元素法我們先看一個(gè)例子例３．求曲線與直線圍成的圖形繞直線Page-8-of8旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積．分析：求旋轉(zhuǎn)體的體積是我們熟悉的問題．但本題沒有現(xiàn)成的公式好用，應(yīng)考慮用元素法將所求的體積化為一個(gè)積分，然后計(jì)算積分得結(jié)果．在學(xué)習(xí)定積分概念時(shí)，講過將曲邊梯形的面積化為一個(gè)定積分的幾個(gè)步驟：分割、近似、求和、取極限．用元素法將所求的量化為一個(gè)定積分的步驟稍微簡化一點(diǎn)：分割、近似后

3、得元素、積分（以得到的元素為被積表達(dá)式在相應(yīng)區(qū)間上積分）得結(jié)果．先要選好積分變量并確定積分區(qū)間，本題中可選也可選．若選為積分變量，則積分區(qū)間為，分割：在上任取一個(gè)小區(qū)間，近似：該小區(qū)間對(duì)應(yīng)的一小片繞直線旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積近似為，從而得體積元素，積分得結(jié)果：．若選為積分變量，則積分區(qū)間為，分割：在上任取一個(gè)小區(qū)間，近似：該小區(qū)間對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形繞直線旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積近似為，從而得體積元素，積分得結(jié)果：．解答過程自己完成．總結(jié)：用元素法求某個(gè)量的一般步驟：（１）建立坐標(biāo)系，選取積分變量，比如．確定該變量的變化區(qū)間即為積分

4、區(qū)間，比如．（２）在區(qū)間上任取一個(gè)小區(qū)間，對(duì)應(yīng)該小區(qū)間的部分量記為，找出該部分量的近似值　，那么得到量的元素?。ǎ常┮栽貫榉e分表達(dá)式在區(qū)間上積分便得欲求的量　　　這里關(guān)鍵是找出元素，找元素的思想是：以直代曲，以常代變．例３．設(shè)有半徑為的密度不均勻的圓盤．已知其面密度為，其中為所考慮的點(diǎn)到圓盤中心的距離，為正常數(shù)，求圓盤的質(zhì)量．解：以圓盤上的點(diǎn)到圓心的距離為積分工變量，則，任取上的一個(gè)小區(qū)間，該小區(qū)間對(duì)應(yīng)的小圓環(huán)的質(zhì)量近似為　Page-8-of8　　于是質(zhì)量元素為　，所以圓盤質(zhì)量為　注：本題可用二重積分計(jì)算。二．廣義積分本節(jié)

5、主要介紹廣義積分的計(jì)算及斂散性判定。廣義積分的計(jì)算也有基本方法和特殊方法，基本方法與定積分差不多但要分清瑕點(diǎn)。廣義積分的斂散性判定主要是兩個(gè)方法（１）用定義，（２）比較法，這一方法適用于被積函數(shù)在瑕點(diǎn)附近或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)附近非負(fù)（若非正，則加一負(fù)號(hào)可變?yōu)榉秦?fù)），并且與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法相似．若被積函數(shù)在瑕點(diǎn)附近或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)附近變號(hào)，可考慮是否絕對(duì)收斂．這里先要熟悉幾個(gè)簡單廣義積分的收斂性：對(duì)于，（），時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散．對(duì)于，（），時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散．對(duì)于，（），時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散．例４．求下列積分（１）,其中,(2)(3),(4)解:(1)(

6、分析:注意這里有兩個(gè)瑕點(diǎn):)注:本題的計(jì)算很容易出錯(cuò):,錯(cuò)誤的根源在于沒注意到積分區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)瑕點(diǎn),由此可看出計(jì)算這類積分時(shí)一定要把瑕點(diǎn)找出來然后按本題的做法那樣去處理,還要注意極限的單側(cè)性．（２）（分析：首先容易想到用分部法去求：Page-8-of8，至此問題出來了，由于，這就沒法做下去了，但我們不能由此說該積分發(fā)散，也不能說分部法不能用．事實(shí)上很容易判斷該積分是收斂的（實(shí)際上不能算是假點(diǎn)），用分部法計(jì)算廣義積分時(shí)要求分部積分公式右邊兩項(xiàng)均收斂（上述做法中右邊兩項(xiàng)均發(fā)散）．本題用分部法可以這樣做：往下計(jì)算請(qǐng)同學(xué)完成，下面有一

7、種更簡便方法（稱之為分段相消法））對(duì)后一積分作換元　，得所以?。ǎ常ǚ治觯撼跻豢创祟}比較復(fù)雜，我們試著先換元簡化問題，令，則積分變?yōu)樵倮闷媾夹杂小≡贀Q元　，則但積分仍不好算，我們可用配對(duì)法計(jì)算此積分：設(shè)，令　，則又Page-8-of8，故　所以，這是分析，解答請(qǐng)同學(xué)們完成）（４）（分析：被積函數(shù)是有理函數(shù)，我們總可以將它分拆成最簡分式的和　，而且可以求出從而而，故．這是分析，解答請(qǐng)同學(xué)們完成）例４．求下列積分（１）已知，求（２）已知，求（３）計(jì)算?。ǎ矗┙猓海ǎ保ǎ玻┝?，Page-8-of8則　，令，則故（１）對(duì)建立遞推

8、式（5）（利用二重積分）例４．廣義積分收斂的充要條件是滿足．（為常數(shù)）分析：首先可以看出本題答案與大于零還是小于零無關(guān)，考慮大于零，這個(gè)積分有瑕點(diǎn)和無窮點(diǎn)，這兩點(diǎn)都要考慮：　對(duì)于，由于～，因此該積分與具有相同的斂散性，故該積分收斂的充要條件是。對(duì)于，由于，因此該積分與具有相同