導數(shù)偏導數(shù)及其應用

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1、第一講導數(shù)、偏導數(shù)及其應用(第二次作業(yè))二、求多元函數(shù)的偏導數(shù)1.具體函數(shù)的偏導數(shù)30.(1)設,則=.(2)設,則=.(3)設,則=.(4)設,則=.(5)設,則=.31.設則().(A)(B)(C)(D)【答】B2.抽象函數(shù)的偏導數(shù)32.設,其中為可導函數(shù),求.33.設,其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),求.34.設,其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),具有二階導數(shù),求.35.設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù),滿足方程,求.36.設變換可將方程簡化為,求常數(shù).3.一個方程確定的隱函數(shù)的(偏)導數(shù)37.設,其中為可導函數(shù),求.38.設,

2、求.39.設由方程確定,求的值.[92-3]【答】.740.證明由方程所確定的函數(shù)滿足.41.設是由確定的二元函數(shù),求.4.由方程組確定的隱函數(shù)的(偏)導數(shù)42.設,其中都是可微函數(shù),求.43.設是由方程組確定的函數(shù),求.【答】.5.函數(shù)的全微分44.當時,函數(shù)的全微分=.【答】45.由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分=.【答】46.設函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù)都存在,則().(A)函數(shù)在點處連續(xù)(B)函數(shù)在點處可微(C)一元函數(shù)在點處可導(D)以上答案都不對【答】C47.函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù)都存在是函數(shù)在點處

3、連續(xù)的().(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要的條件【答】D48.函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù)都存在是函數(shù)在點處可微的().(A)充分條件(B)必要條件(C)充分必要條件(D)既非充分也非必要的條件【答】B49.設函數(shù),則在點處().(A)偏導數(shù)不存在(B)偏導數(shù)存在但不可微(C)可微但偏導數(shù)不連續(xù)(D)偏導數(shù)連續(xù)【答】B50.設函數(shù),則在點處().7(A)不存在(B)連續(xù)(C)可微(D)不連續(xù)【答】C6、方向導數(shù)與梯度51.已知是曲線在點處的切線向量,且它與與軸正向夾角為銳角,

4、求函數(shù)在點處沿方向向量的方向導數(shù).【答】.52.設為拋物線在點(1,2)處與軸正方向夾角為銳角的單位切向量,則函數(shù)在點(1,2)處沿方向的方向導數(shù)為.【答】53.已知是空間曲線:在點處的切線向量,且它與軸正向夾角為銳角,求函數(shù)在點處沿方向向量的方向導數(shù).【答】.54.求函數(shù)在點處沿曲線在該點的外法線方向的方向導數(shù).【答】.55.函數(shù)在點處的最大方向導數(shù)是.【答】三、一元函數(shù)導數(shù)的應用1.求曲線的切線與法線56.(1)求曲線在點處的切線與法線的方程.(2)過點作曲線的切線,求此切線方程.57.已知曲線(為常數(shù)

5、)與在點處有公共切線,求的值.58.求極坐標方程的圖形對應處的切線方程.59.若曲線和在點處相切,其中是常數(shù),則().(A)(B)(C)(D)60.設為可導函數(shù),它在的某鄰域內(nèi)滿足,其中是當時比高階的無窮小量,則曲線在點處的切線方程為().7(A)(B)(C)(D)61.設函數(shù)的圖形在點處的切線與軸的交點坐標為,試求.1.一元函數(shù)的單調(diào)性與極值62.討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.63.設,則在點處().(A)的導數(shù)存在,且(B)取得極大值(C)取得極小值(D)的導數(shù)不存在64.已知常數(shù),問方程有幾個實數(shù)根?2.

6、一元函數(shù)圖形的凹凸性65.求曲線的凹凸區(qū)間與拐點.66.用導數(shù)知識畫出函數(shù)的圖形.67.如果,且在內(nèi),,則在內(nèi),().(A)(B)(C)(D)oabxy第68題圖68.設函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導函數(shù)的圖形如右,記為函數(shù)的極值點個數(shù),為圖形的拐點個數(shù),則().(A)(B)(C)(D)69.設是正值連續(xù)函數(shù),,,證明函數(shù)在區(qū)間上的圖形是向上凹的.70.先將函數(shù)展開成帶佩亞諾余項的7階麥克勞林公式,再求,并問點(0,0)是否為該函數(shù)圖形的拐點?3.函數(shù)的最大值與最小值CADB煉油廠油井第71題圖油井到煉油廠的輸油管道7

7、1.用輸油管把離岸12公里的一座油井和沿岸往下20公里處的煉油廠連接起來(如圖5.1.8),如果水下輸油管的鋪設成本為每公里50萬元,陸地輸油管的鋪設成本為每公里30萬元.問應如何鋪設水下和陸地輸油管,使總的連接費用最小?【答】最小的連接成本為1080萬元,最優(yōu)的連接方案為:從煉油廠沿岸在陸地上鋪設11公里到點,然后在水下鋪設15公里的管道.72.某種疾病的傳播模型為,其中P是總人口數(shù),是固定常數(shù),是到時刻感染該病的總人數(shù),求(1)該種疾病的傳播速率;(2)當傳播速率最大時,感染該病的總人數(shù).773.三角形

8、由圍成,在三角形內(nèi)作矩形ABCD,其一邊AD與軸重合,另兩頂點B、C分別在上,求此長方形面積的最大值.1.用洛必達法則及泰勒公式求不定型極限74.設在處二階可導,求極限.75.計算下列極限(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)76.計算極限.77.設在點的某鄰域內(nèi)可導,且,求(1);(2).78.設,則().(A)(B)(C)(D)【答】(A)2.變化率與相關變化率79.一容器的側面和底面分別由曲

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