考研數(shù)學(xué)高分導(dǎo)學(xué)班講義(湯家鳳

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1、課程配套講義說明1、配套課程名稱2013年考研數(shù)學(xué)高分導(dǎo)學(xué)（湯家鳳，16課時）2、課程內(nèi)容此課件為湯家鳳老師主講的2013考研數(shù)學(xué)高分導(dǎo)學(xué)班課程。此課程包含線代和高數(shù)，請各位學(xué)員注意查看。3、主講師資湯家鳳——文都獨家授課師資，數(shù)學(xué)博士，教授，全國著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，全國唯一一個能脫稿全程主講的數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀指導(dǎo)老師。湯老師對數(shù)學(xué)有著極其精深的研究，方法獨到。湯老師正是憑借多年從事考研閱卷工作的經(jīng)驗，通過自己的歸納總結(jié)，在課堂上為學(xué)生列舉大量以往考過的經(jīng)典例子。深入淺出，融會貫通，讓學(xué)生真正掌握正確的解題方法。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S、激情的課堂，輕松的學(xué)習(xí)，這是湯老師課

2、堂的特色！主講：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)。4、講義20頁（電子版）文都網(wǎng)校2011年9月15日212013考研數(shù)學(xué)高分導(dǎo)學(xué)班講義線性代數(shù)部分—矩陣?yán)碚撘?、矩陣基本概?、矩陣的定義—形如，稱為矩陣，記為。特殊矩陣有（1）零矩陣—所有元素皆為零的矩陣稱為零矩陣。（2）方陣—行數(shù)和列數(shù)都相等的矩陣稱為方陣。（3）單位矩陣—主對角線上元素皆為1其余元素皆為零的矩陣稱為單位矩陣。（4）對稱矩陣—元素關(guān)于主對角線成軸對稱的矩陣稱為對稱矩陣。2、同型矩陣—行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱為同型矩陣。若兩個矩陣同型且對應(yīng)元素相同，稱兩個矩陣相等。3、矩陣運(yùn)算（1）矩陣加、減法：，則。（2）數(shù)與矩陣之積：。（3）

3、矩陣與矩陣之積：21設(shè)，則，其中（）【注解】（1）不一定有或。（2）矩陣乘法沒有交換律。（3）含方陣的矩陣多項式可象普通多項式一樣因式分解的充分必要條件是。（4）設(shè)，則定義，且關(guān)于矩陣的矩陣多項式可因式分解。二、方程組的矩陣形式及解的概況方程組的基本形式為（1）稱（1）為齊次線性方程組。（2）稱（2）為非齊線性方程組。令，，，則（1）、（2）可分別表示為矩陣形式：（1）21及（2）對方程組（1）：【例題1】討論方程組解的情況，并分析原因。【例題2】討論方程組解的情況，并分析原因。對方程組（2）：【例題1】討論方程組解的情況，并分析原因?！纠}2】討論方程組解的情況，并分析原因?！纠?/p>

4、題3】討論方程組解的情況，并分析原因。三、矩陣問題的產(chǎn)生初一數(shù)學(xué)問題：解一元一次方程情形一：當(dāng)時，兩邊同時乘以得，于是；情形二：當(dāng)時，方程無解；情形三：當(dāng)時，方程有無數(shù)個解。線性方程組的類似問題：討論方程組的解情形一：是階方陣，且存在，使得由兩邊左乘得，于是；情形二：雖然是階矩陣，但不存在，使得方程組是否有解及解的情況；情形三：是矩陣，且方程組是否有解及解的情況。【注解】（1）第一種解的情況產(chǎn)生矩陣的第一個核心問題—矩陣的逆陣。（2）第二、三兩種情形產(chǎn)生矩陣的另一個核心問題—矩陣的秩。四、矩陣兩大核心為題（一）逆陣211、定義—設(shè)為階矩陣，若存在階矩陣，使得，則稱為可逆矩陣，稱為的

5、逆矩陣，記為。2、兩個問題【問題1】給定一個階矩陣，是否存在可逆矩陣（事實上不存在可逆矩陣的矩陣大量存在）？【問題2】若階矩陣可逆（即逆矩陣存在），如何求其逆矩陣？3、矩陣可逆充分必要條件定理設(shè)為階矩陣，則可逆的充分必要條件是。4、求矩陣逆陣的方法方法一：伴隨矩陣法（略）方法二：初等變換法第一步方程組的三種同解變形（1）對調(diào)兩個方程的位置方程組的解不變；（2）某個方程兩邊同乘以一個非零常數(shù)方程組的解不變；（3）某個方程的倍數(shù)加到另一個方程方程組的解不變。第二步矩陣的三種初等行變換（1）對調(diào)矩陣的兩行；（2）矩陣的某行同乘以一個非零常數(shù)；（3）矩陣某行的倍數(shù)加到另一行。第三步三種初等

6、矩陣（1）—單位矩陣的行與行對調(diào)或者列與列對調(diào)所得的矩陣。性質(zhì)：1）；2）或者；3）為將的行與行對調(diào)所得的矩陣，為將的列與列對調(diào)所得的矩陣。（2）—單位矩陣的行乘以或單位矩陣的列乘以。性質(zhì)：1）；2）；3）為將的行乘以非零常數(shù)所得到的矩陣，為將的列乘以非零常數(shù)所得到的矩陣。（3）—單位矩陣的行的倍加到行或者單位矩陣的列的倍加到列所得到的矩陣。性質(zhì)：1）；2）；213）為將的行的倍加到行所得到的矩陣，為將的列的倍加到列所得到的矩陣。第四步三個問題【問題1】設(shè)為階可逆矩陣，能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為單位矩陣？【問題2】設(shè)為階不可逆矩陣，能夠經(jīng)過有限次初等行變換化為？【問題3】設(shè)為階不

7、可逆矩陣，能夠經(jīng)過有限次初等變換化為？第五步初等變換法求逆陣及兩個相關(guān)的定理定理（初等變換法求逆陣）設(shè)為階可逆矩陣，則可以經(jīng)過有限次初等行變換化為初等矩陣。（二）矩陣的秩（記?。涸诜匠探M中矩陣的秩本質(zhì)上就是約束條件）1、定義—設(shè)為矩陣，若存在一個階非零子式，但所有的階子式（如果有）都是零，則稱為的秩，記為。【注解】（1）任何矩陣的秩都既不超過其行數(shù)也不超過其列數(shù)。設(shè)為矩陣，則。（2）設(shè)為階矩陣，若，則，稱為滿秩矩陣。矩陣可逆、滿秩及非奇異等價。2、矩陣秩的求法將矩陣進(jìn)