幾何證明__中點(diǎn)模型[中級(jí)]

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1、WORD整理版幾何證明——中點(diǎn)模型(中級(jí))【知識(shí)要點(diǎn)】1、中位線定理：如圖，在中，若，，則且。2、中線倍長(zhǎng)(倍長(zhǎng)中線)：如圖（左圖），在中，為中點(diǎn)，延長(zhǎng)到使，連接，則有：≌。作用：轉(zhuǎn)移線段和角。注意：①在實(shí)際運(yùn)用中，與某個(gè)中點(diǎn)相連的線段，都可以將其看作“中線”，從而都可以考慮將它倍長(zhǎng)（需要的話）。②如上右圖，如果出現(xiàn)“兩條平行線夾中點(diǎn)”的情形，一定會(huì)出現(xiàn)“X全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”，有時(shí)這個(gè)“叉叉”需要我們自己畫(huà)出來(lái)（輔助線）.3、直角三角形斜邊中線定理：如圖，在中，，為中點(diǎn)，則有：。4、三線合一：在中:（1）；（2）平分；（3），（4）.“知

2、二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是說(shuō)，以上四條語(yǔ)句，任意選擇兩個(gè)作為條件，就可以推出剩下兩條。請(qǐng)牢記：當(dāng)你發(fā)現(xiàn)有某一條線同時(shí)具備了“垂線”、“角平分線”、“中線”三種功能當(dāng)中的任意兩種專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版功能時(shí)，那么這條線就一定是某個(gè)等腰三角形的對(duì)稱軸，換句話說(shuō)，以這條線為對(duì)稱軸必定有等腰三角形出現(xiàn).【經(jīng)典例題】例1、如圖所示，已知為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，求證：.例2、如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)交于，求證：。例3、如圖，在中，為的平分線，為的中點(diǎn)，，求證：。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版例4、如圖,已知中，為

3、高線，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：。例5、如圖所示，在中，，為的中點(diǎn)，是的平分線，若且交的延長(zhǎng)線于，求證：。例6、如圖所示，在中，是的平分線，是的中點(diǎn)，且交的延長(zhǎng)線于，，求證：?！咎嵘?xùn)練】專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版1、已知如圖，中，是邊上的中線,求證：.2、已知：如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，交于連結(jié)。求證：.3、已知如圖，中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn).求證：。4、在梯形中，，，為的中點(diǎn)，求證：。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版5、已知：在正方形中，對(duì)角線、交于，為的平分線，交于，于．求證：．6、如圖，中，的平分線與邊的中線垂直，垂足為，

4、且，求的三邊長(zhǎng)。7、如圖，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版8、如圖，已知中，是的平分線，又是邊上的中線，求證。9、如圖，已知中，上的中線,求的長(zhǎng).10、如圖，在中，是的中點(diǎn)，，，求的正切值.專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版11、已知：如圖，中，，在上取點(diǎn)，在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，若是中點(diǎn)，求證：．12、如圖，是的邊的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，且，，，求的周長(zhǎng)。13、如圖，已知：中,是的中點(diǎn)，。求證：。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版14、如圖,已知中，是的中點(diǎn)，。求證：。15、如圖，是中邊上的一點(diǎn)，且，，是的中線，求證：。16、如圖

5、，已知等腰三角形中，平分，垂足為點(diǎn)，求證：。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版17、已知：如圖，于點(diǎn)是中點(diǎn)，求證：。18、如圖，在正方形中，是中點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：。19、已知：和都是直角三角形，點(diǎn)在上，且，如圖，連接，設(shè)為的中點(diǎn)，連接。求證：。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版20、如圖，平行四邊形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，、、分別是、、的中點(diǎn)。求證：（1）（2）.21、請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，線段的中點(diǎn)，連結(jié)．若,探究與的位置關(guān)系．22、如圖，中，是邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)，若,求證：。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版23

6、、如圖，梯形中，∥，是中點(diǎn)，于，，求。24、如圖，三角形，為上的點(diǎn)，過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，作交于，為中點(diǎn)，連接與，求證：25如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且平分，求證：專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版26、如圖，正方形CGEF的對(duì)角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交CE于N．（1）求證：AD=NE（2）求證：①DM=MF；②DM⊥MF．27、如圖，等腰梯形中，，對(duì)角線相交于，，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，求證：是等邊三角形.28、已知如圖，的中線、相交于點(diǎn)，F(xiàn)、分別是、的中點(diǎn)，（1）判斷和有何關(guān)系并

7、證明；（2）求證：。29、如圖，在梯形中，，，，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是梯形的高。專業(yè)資料學(xué)習(xí)參考WORD整理版（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式。30、已知如圖，在四邊形中，分別為、的中點(diǎn)；（1）求證：；（2）交、分別于、，若，求證：為等腰三角形。31、點(diǎn)是所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，并把、、、的中點(diǎn)、、、順次連結(jié)起來(lái)，設(shè)能構(gòu)成四邊形。（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)時(shí)，求證：四邊形是平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到外時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？畫(huà)出圖形，說(shuō)明理由；（3）若四邊形是矩形，則點(diǎn)所在的位置滿足什么條件？試說(shuō)明理由。專業(yè)資料學(xué)習(xí)

8、參考