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《歐拉方程求解線(xiàn)性非齊次高階方程的特解待定系數(shù)法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、4.3歐拉方程、非齊次高階線(xiàn)性方程特解的待定系數(shù)方法(HowtoSolveEulerequation,UsethemethodofundeterminedcoefficientstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教學(xué)內(nèi)容]1.介紹歐拉方程及其解法.2.介紹非齊次線(xiàn)性方程特解的待定系數(shù)求法.3.介紹非齊次線(xiàn)性方程特解的常數(shù)變易法.[教學(xué)重難點(diǎn)]重點(diǎn)是知道歐拉方程的特征方程，并能獲得原歐拉方程的基本解組；如何運(yùn)用待定系數(shù)法或常數(shù)變易法求解非齊
2、次線(xiàn)性方程的特解；難點(diǎn)是如何由非齊次線(xiàn)性方程中的形式合適選擇特解的形式.[教學(xué)方法]預(yù)習(xí)1、2、3；講授1、2、3[考核目標(biāo)]1.能寫(xiě)出歐拉方程的特征方程的形式2.能由歐拉方程的特征方程的特征根寫(xiě)出原微分方程基本解組;3.知道待定系數(shù)法求解非齊次線(xiàn)性方程的特解；4.知道運(yùn)用常數(shù)變易法求解非齊次線(xiàn)性方程的特解.1.認(rèn)識(shí)歐拉方程.(1)稱(chēng)形如為歐拉等量綱方程（Euler’sequi-dimensionalequation），其中p和q都是常數(shù).(2)解法：令自變量替換將原方程化為常系數(shù)方程：；；；；因此，原方程化為，這是一個(gè)常系數(shù)
3、線(xiàn)性微分方程.令代入方程得到，方程為（或），稱(chēng)為歐拉方程的特征方程.由此得到新方程的基本解組為或，或.返回原變量得到歐拉方程的基本解組為或，或.例52.求解微分方程.解：注意到這是一個(gè)歐拉等量綱方程，令，得到歐拉方程的特征方程為，解得.于是為二重根.于是得到歐拉方程的基本解組為，返回原變量為，因此原歐拉方程的通解為.例53Findthegeneralsolutionofthefollowingequation:(1);Solution(1)Let，thentheassociatedcharacteristicequationo
4、fEulerequationis.Bysolvingthealgebraicequation,weget.Thentwodependentsolutionstothenewequationis,andfundamentalsolutionstoEulerequationis.Therefore,thegeneralsolutionisgivenby,aretwoindependentvariables.作業(yè)47.Findthegeneralsolutionofeachofthefollowingequation:(1);(2)
5、;(3).2.非齊次線(xiàn)性微分方程特解待定系數(shù)方法求解（undeterminedcoefficients’method)（1）非齊次線(xiàn)性微分方程通解結(jié)構(gòu)：考察二階非齊次線(xiàn)性微分方程.若為的基本解組且為原非齊次方程的一個(gè)特解，則原非齊次線(xiàn)性方程的通解為其中.(一般地結(jié)論參見(jiàn)教材P127定理7)（2）待定系數(shù)方法求解非齊次方程的特解例54.求解二階非齊次方程(1);(2)的一個(gè)特解.解：(1)方程的特征方程為，得到.猜想：原方程具有如下形式特解：（原因是經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)最高次數(shù)為0，一次求導(dǎo)后最高次數(shù)為1，方程兩邊比較得到C=0），代入
6、方程得到，比較系數(shù)得到，得到。因此所求原方程的一個(gè)特解為.(2)由題意可設(shè)特解形式為，（原因是經(jīng)過(guò)兩次求導(dǎo)是常數(shù)，不可能等于2t），代入原方程并比較t的系數(shù)得到，，得到.因此，所求特解為.小結(jié)：考察，，（1）若不是相應(yīng)齊次方程特征方程的特征根，則可設(shè)特解形式為；(2)若是微分方程的特征方程的k重特征根，則可設(shè)特解形式為.作業(yè)48求方程的通解.例55.求解二階非齊次方程(1);(2)的通解.解：(1)方程的特征方程為，特征根為.令，則原方程可化為.由上例分析知，新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，，代入原方程得到，，
7、得到.所求特解為.因此，原方程的通解為，.(2)方程的特征方程為，特征根為.令，則原方程可化為.由前面齊次線(xiàn)性方程知識(shí)和上例分析知，新方程的特征方程具有零特征根且重?cái)?shù)為k=1，于是新方程具有如下形式特解，于是原方程具有形式特解，，代入原方程得到，，得到.所求特解為.作業(yè)49求方程(1);(2)的通解.例55.求解二階非齊次方程(1);(2)的通解.解：(1)方程的特征方程為，得到二重根，于是相應(yīng)的齊次方程的基本解組為.改寫(xiě).考察新方程，注意到不是相應(yīng)齊次方程特征方程的特征根，因此，由上例可設(shè)新方程的形式特解為，于是，代入方程得
8、到，，于是，因此特解為.注意到為方程的解，因此，所求方程的一個(gè)特解為.因此，原方程的通解為，.(2)方程的特征方程為，得到二重根，于是相應(yīng)的齊次方程的基本解組為.改寫(xiě).考察新方程，注意到不是相應(yīng)齊次方程特征方程的特征根，因此，由上例可設(shè)新方程的形式特解為，于是，代入方程得到，
