微分中值定理及泰勒公式的意義

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1、微分中值定理及泰勒公式的意義2用運(yùn)動(dòng)形容微分中值定理1.1羅爾定理*不要把上圖想象成了平面上的運(yùn)動(dòng)，而要想成在一條直線(xiàn)上，只能以這樣的圖形表示出來(lái)一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后又回到原來(lái)的位置，在它運(yùn)動(dòng)的最遠(yuǎn)點(diǎn)速度一定為0。因?yàn)樵谠擖c(diǎn)它必須改變運(yùn)動(dòng)方向才可以回到原來(lái)的位置。1.2柯西中值定理A和B競(jìng)速，5秒后兩物體停止在如圖的位置。B是A位移的2倍，途中肯定在某時(shí)刻B的速度是A的正好2倍。分析如下：假設(shè)開(kāi)始B的速度是A的100倍，B跑的實(shí)在太快了，如果它一直這樣，最終將把A拉的無(wú)影無(wú)蹤。開(kāi)始如果B比A慢，如果B一直不思進(jìn)取，5秒后B不但不能是A

2、的2倍，而且還會(huì)被A拉在身后。結(jié)論是：途中必須有B是A速度2倍的時(shí)刻，來(lái)調(diào)和位移的前后不均。1.3拉格朗日中值定理當(dāng)B以單位速度運(yùn)行時(shí)，特殊的柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。1.4泰勒公式先看下這些簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)方程描述1單位位移t單位速度t22!單位加速度tnn!單位n階運(yùn)動(dòng)以ht=tn+1(n+1)!為例，在t=0時(shí)刻，它沒(méi)有位移、沒(méi)有速度、沒(méi)有加速度、沒(méi)有n階運(yùn)動(dòng)……它只有單位的n+1階運(yùn)動(dòng)。假如另一個(gè)運(yùn)動(dòng)未知形態(tài)的運(yùn)動(dòng)ε(t)，只知道它在t=0時(shí)刻，也沒(méi)有位移、沒(méi)有速度、沒(méi)有n階運(yùn)動(dòng)……有n+1階以后的運(yùn)動(dòng)。那么讓h(t

3、)與ε(t)競(jìng)速。上面的條件使它們處于同一起跑線(xiàn)，不但初始位移相同，他們的初始速度、加速度……都是一樣的，并且都是0。t時(shí)刻，如果A是B位移的2倍，那么在這中間某時(shí)刻t1，A必須是B速度的2倍。否則他無(wú)法位移是B的2倍。t1時(shí)刻，A的速度是B的速度的2倍，那么在中間某時(shí)刻t2，A的加速度必須是B的2倍。如果沒(méi)有這么大的加速度A的速度不可能是B的速度的2倍。以此類(lèi)推，就得到了εn+1(tn+1)hn+1(tn+1)=…=ε2(t2)h2(t2)=ε'(t1)h'(t1)=ε(t)h(t)=2由于h(t)是單位的n+1階運(yùn)動(dòng)h(n+1)(t

4、)=1，所以有εn+1τ=ε(t)h(t)其中τ∈(0,t)看到上面的算式，想起了泰勒公式的余項(xiàng)了嗎?完整的寫(xiě)出泰勒公式：ft=f0+f'0t1!+f''0t22!+…+f(n)0tnn!+ε(t)泰勒公式的多項(xiàng)式部分：p(t)=f0+f'0t1!+f''0t22!+…+f(n)0tnn!p(t)是一個(gè)在t=0時(shí)刻，與f(t)具有相同的：初始位移、初始速度、初始加速度……初始n階運(yùn)動(dòng)。大家還有什么好的理解嗎？可以加QQ：924465550。*上述的都不是數(shù)學(xué)證明，非常不嚴(yán)密。只是對(duì)問(wèn)題的理解。1用曲線(xiàn)去形容微分中值定理（一些微積分的書(shū)會(huì)

5、介紹的更詳細(xì)）1.1羅爾定理兩端點(diǎn)相等，中間必然有平行于x軸的切點(diǎn)1.2拉格朗日中值定理必然有平行兩端點(diǎn)的直線(xiàn)1.3柯西中值定理拉格朗日中值定理的參數(shù)方程形式1.4泰勒公式用函數(shù)曲線(xiàn)解釋不方便