曲面的第二基本形式與曲面上的曲率

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1、作者：王幼寧第四章　曲面的第二基本形式與曲面上的曲率§5　曲面上的曲率概念利用上一節(jié)所作的準(zhǔn)備，圍繞曲面彎曲狀況的刻畫，本節(jié)將引入曲面上的基本的和重要的曲率概念，并簡(jiǎn)要討論相關(guān)的幾何體．一．主曲率定義1　曲面S上的點(diǎn)P處的法曲率關(guān)于切方向的兩個(gè)最值，分別稱為曲面S在點(diǎn)P處的主曲率；使得法曲率達(dá)到最值的兩個(gè)切方向，分別稱為曲面S在點(diǎn)P處的主方向．注記1　①　Weingarten變換的特征值和特征方向，分別是曲面的主曲率和主方向．②　當(dāng)兩個(gè)主曲率k1(P)1k2(P)時(shí)，曲面在點(diǎn)P處有且僅有正交的兩組主方向，每一組的單位化向量分別

2、就是Weingarten變換的單位正交特征向量．而當(dāng)兩個(gè)主曲率k1(P)=k2(P)時(shí)，曲面在點(diǎn)P處的任何非零切向都是主方向，Weingarten矩陣w(P)=k1(P)I2，即W(P)=k1(P)g(P)．主曲率和主方向的計(jì)算，自然歸結(jié)為Weingarten變換的特征值和特征方向的計(jì)算，也就是Weingarten矩陣的特征值和特征方向的計(jì)算．即：　　①　對(duì)于主曲率的算法，當(dāng)易知Weingarten矩陣w之時(shí)，方程為(4.3)式，或直接寫為(5.1)　　

3、w-lI2

4、=0；等價(jià)地，當(dāng)易知系數(shù)矩陣W和g之時(shí)，其方程可變形為(5.

5、2)　　

6、W-lg

7、=0．　?、凇?duì)于主方向的算法，各種等價(jià)算式為　　　　a=airi10為主方向，即非零切方向a1:a2為主方向　　?$l,'(a1,a2)w=l(a1,a2),(a1,a2)1(0,0)　　?$l,'(a1,a2)W=l(a1,a2)g,(a1,a2)1(0,0)　　?det.=0-5-作者：王幼寧　　?=0．主方向所對(duì)應(yīng)的微分方程通常寫為(5.3)　　=0．定義2　若曲面S在點(diǎn)P處的兩個(gè)主曲率相等，則稱點(diǎn)P為曲面S上的一個(gè)臍點(diǎn)．若曲面S處處為臍點(diǎn)，則稱曲面S為全臍曲面．若臍點(diǎn)處的主曲率為零，則稱之為平點(diǎn)；

8、若臍點(diǎn)處的主曲率不為零，則稱之為圓點(diǎn)．注記2　全臍曲面S的法曲率只與點(diǎn)有關(guān)而不依賴于切向選取，故只有平面和球面兩類；平面上各點(diǎn)為平點(diǎn)，球面上各點(diǎn)為圓點(diǎn)．全臍曲面主方向所對(duì)應(yīng)的微分方程是蛻化的恒等式．二．Gauss曲率和平均曲率定義3　對(duì)于正則曲面S，其在點(diǎn)P處的兩個(gè)主曲率的乘積K，稱為其在點(diǎn)P處的Gauss曲率或總曲率；其在點(diǎn)P處的兩個(gè)主曲率的算術(shù)平均值H，稱為其在點(diǎn)P處的平均曲率．注記3?、佟∽⒁獾?4.4)-(4.5)式，Gauss曲率和平均曲率分別具有用Weingarten矩陣或兩個(gè)基本形式系數(shù)的表達(dá)式，分別列為(5.4

9、)　　K=

10、w

11、==,(5.5)　　H==．　?、凇≈髑史匠?4.3)式現(xiàn)可改寫為(5.6)　　l2-2Hl+K=0；其中H2-K=≥0．　?、邸auss曲率在容許參數(shù)變換下不變；平均曲率在保向參數(shù)變換下不變，在反向參數(shù)變換下變號(hào)．　?、堋‘?dāng)曲面三階連續(xù)可微時(shí)，Gauss曲率和平均曲率分別是連續(xù)可微函數(shù)；此時(shí)，兩個(gè)主曲率函數(shù)(5.7)　　ki=H±,i=1,2-5-作者：王幼寧處處連續(xù)，并且在非臍點(diǎn)處連續(xù)可微．　?、荨∑骄实扔诜ㄇ拾辞蟹较虻姆e分平均值（留作習(xí)題）．　?、蕖∑骄什皇堑染嗖蛔兞浚蠢鐖A柱面和平面．例

12、1　證明可展曲面的Gauss曲率Ko0．證明　對(duì)可展曲面S的直紋面參數(shù)化r(u,v)=a(u)+vl(u)，由可展定義得知nvo0，故其第二基本形式系數(shù)滿足　　　　M=-ru·nvo0,N=-rv·nvo0,于是　　　　K=o0．　　□在上例中，若取準(zhǔn)線使a￠·lo0且

13、l

14、o1，則可展曲面S的第一和第二基本形式系數(shù)矩陣同時(shí)對(duì)角化，Weingarten矩陣則為特征值對(duì)角陣，而且(5.8)　　k1=,k2o0．　　三．Gauss映射和第三基本形式nS2(1)UGnSrnu2r-1(U)u1圖4-5Gauss在考察曲面的彎曲程度刻

15、畫時(shí)，注意到曲面的單位法向在單位球面上的行為對(duì)于曲面彎曲狀況的反映，并進(jìn)一步明確了兩者的依賴程度，進(jìn)而在曲面論中做出了卓有成效的工作．觀察熟知的一些曲面，比如平面、圓柱面、圓錐面、橢球面、雙葉雙曲面、雙曲拋物面等等，可以直觀感受到單位法向不同的行為和曲面不同的彎曲狀況之間有著密切聯(lián)系．定義4　對(duì)于C3正則曲面S:r(u1,u2)及其單位法向量場(chǎng)n(u1,u2)，曲面S到以原點(diǎn)為心的單位球面S2(1)上的映射(5.9)　　稱為曲面S的Gauss映射．二次微分形式(5.10)?、?dn·dn-5-作者：王幼寧稱為曲面S的第三基本形

16、式．性質(zhì)?、佟1′n2=Kr1′r2．　?、凇?/p>

17、K(P)

18、=limU收縮至P，其中P?UìS,U為單連通區(qū)域，A(G(U))是G(U)ìS2(1)的面積，A(U)是UìS的面積．　　③?、?2HⅡ+KⅠ=0．證明?、佟∮蒞eingarten公式得　　　　n1′n2=[-(w