空間曲線與曲面的繪制

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1、空間曲線與曲面的繪制本實驗的目的是:利用數(shù)學軟件Mathematica繪制三維圖形來觀察空間曲線和空間曲面圖形的特點，以加強幾何的直觀性。1.空間曲線的繪制繪制空間曲線時一般使用曲線的參數(shù)方程，利用命令“ParametricPlot3D”。如畫出參數(shù)方程所確定的空間曲線的命令格式為:ParametricPlot3D[{x[t],y[t],z[t]},{t,tmin,tmax},選項]例1畫出旋轉(zhuǎn)拋物面與上半球面交線的圖形。解：它們的交線為平面上的圓，化為參數(shù)方程為，下面的mathematica命令就是作出它們的交線并把它存在變

2、量p中：運行即得曲線如圖1所示。在這里說明一點，要作空間曲線的圖形，必須先求出該曲線的參數(shù)方程。如果曲線為一般式，其在面上的投影柱面的準線方程為，可先將化為參數(shù)方程，再代入或解出即可。1、空間曲面的繪制作一般式方程所確定的曲面圖形的Mathematica命令為：Plot3D[f[x,y],{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},選項]作參數(shù)方程所確定的曲面圖形的Mathematica命令為：ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin

3、,vmax},選項]例1作出上半球面的圖形。解：首先我們選取繪圖區(qū)間作圖，輸入下面語句：運行后得到了該曲面的圖形（圖2），但是在圖形的前面出現(xiàn)了一些藍色字體報錯信息，而且圖形不完整，這是因為函數(shù)在范圍內(nèi)的一些點處無定義。為避免上述問題，可用下面兩種方法：（1）定義一個分區(qū)域函數(shù)，將無定義的點賦予函數(shù)值1：，作出該函數(shù)的圖形只要鍵入命令：運行后得圖3，可以看到該圖形比上半球面多了一部分曲面的圖形（即平面上的部分）。但是圖形比較粗糙，我們可以提高采樣點數(shù)，例如取采樣點數(shù)為30，即運行命令可得圖形4，由此可見圖形已經(jīng)比較精細了。圖2

4、圖3圖4（2）采用參數(shù)方程，選取參數(shù)的范圍使得區(qū)域內(nèi)的每一點都有定義。對于題目中的球面有參數(shù)方程，我們輸入命令：運行后得圖形5。我們還可以改變參數(shù)的范圍畫出上半球面的部分（如圖6）：圖5圖61、空間圖形的疊加與平面圖形類似，空間的立體圖形同樣可用“Show”命令，把不同的圖形（曲線或曲面）疊加并在一個坐標系中顯示出來。例3畫出由旋轉(zhuǎn)拋物面與上半球面相交所圍成的立體幾何圖形。解：這是一個組合圖形。一般地，直接畫出兩者的圖形再組合在一起。但是，這里所要的圖形僅僅是兩個曲面圖形的一部分，因此需要有選擇地畫出兩曲面的相應部分再組合。由

5、于它們的交線為，故相應的曲面部分的參數(shù)方程為：與。輸入以下Mathematica語句：運行后即得旋轉(zhuǎn)拋物面、上半球面及疊加曲面的圖形（圖7）。圖7例4繪制由曲面與所圍成的立體區(qū)域。解：輸入命令：在上述語句中，選項“DisplayFunction?Identity”表示不顯示圖形，而“DisplayFunction?$DisplayFunction”則表示顯示圖形。運行結(jié)果如圖8。4．用動畫來演示產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面的過程。例5用動畫演示由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面的過程。解：該曲線繞繞軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的曲面方程為，其參數(shù)方程為，輸入以下命令，

6、就可得到連續(xù)變化的20幅圖形：運行后得到20幅曲面的圖形，圖8中列舉了其中的三幅。大家還可以進行動畫演示，觀察到旋轉(zhuǎn)曲面產(chǎn)生的過程。圖8實驗習題1、作出各種標準二次曲面的圖形。2、利用參數(shù)方程作圖，作出由下列曲面所圍成的立體：（1）及面（2）及3、觀察二次曲面族的圖形。特別注意確定的這樣一些值，當經(jīng)過這些值時，曲面從一種類型變成了另一種類型。