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1、八年級同學也能解答中考壓軸題 題目：如圖1，在菱形ABCD中，AB=BD，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF.連接BF與DE相交于點G，連接CG與BD相交于點H.下列結論：①△AED≌△DFB；②S四邊形BCDG=CG2；③若AF=2DF，則BG=6GF.其中正確的結論是（）. A.只有①②B.只有①③ C.只有②③D.①②③ 這是2013年中考武漢卷的第12題，也是選擇題的最后一道小題（我們通常稱之為選擇壓軸題），因題目涉及的知識點較多，綜合性強，不少考生解答本題用時較多，且難以直接證出結果，成為試卷中拉
2、開分數(shù)距離的難題之一.果真那么難嗎？其實，針對不同的選擇題，我們應選擇恰當?shù)姆椒ǎ袝r可分析選項，有時可用特殊值，有時可代入驗證，有時可用排除法……當然，只要認真觀察圖形，結合已知或結論聯(lián)想與之相近的圖形或結論，運用八年級上學期的數(shù)學知識，也可以直接證出本題結論.下面結合八年級上學期同學們所學的知識進行解答. 方法一：特殊值法證結論② 運用SAS定理，易證明△AED≌△DFB，即結論①正確，難在對結論②、③的判斷上. 對于結論②可用特殊值法進行解答，即當E為AB的中點，F(xiàn)也為AD的中點（如圖2），看結論②是否成立.
3、4 解：因為四邊形ABCD是菱形，則AD=AB. 又AB=BD， 所以△ABD、△BCD都是等邊三角形. 又點E、F分別為AB、AD的中點， 由等腰三角形“三線合一”的性質知：DE、BF分別平分∠ADB、∠ABD， 則∠GDB=∠GBD=×60°=30°，所以DG=BG. 再由線段垂直平分線的判定定理知：點G在BD的垂直平分線上. 又CD=BC，也可以判斷點C在BD的垂直平分線上. 所以CG為線段BD的垂直平分線. 又∠CDG=∠CDB+∠GDB=60°+30°=90°， 在含30°角的Rt△CDG
4、中，CD=CG. 又BD=CD，則BD=CG. 所以S四邊形BCDG=BD?CG=×CG?CG=CG2. 故②正確. 方法二：直接證明 分析：由結論②S四邊形BCDG=CG2，我們想到一個熟悉的結論：“邊長為a的等邊三角形的面積為a2”，這樣應該構造以CG為邊的等邊三角形來解決問題. 證明：延長GB到M，使BM=DG，連接CM，如圖3. ∵四邊形ABCD為菱形，AB=BD， ∴△ABD和△BCD都是等邊三角形.4 ∴AD=BD，∠DAE=∠BDF=60°. 而AE=DF， ∴△AED≌△DFB（SA
5、S）， ∴∠ADE=∠DBF. ∴△DBG的外角∠BGE=∠DBF+ ∠BDG=∠ADE+∠BDG=∠ADB=60°. 在四邊形BCDG中， ∠GDC+∠GBC=（∠GDB+60°）+（∠GBD+60°）=120°+（∠GDB+∠GBD）=120°+∠BGE=120°+60°=180°， 即∠GDC+∠GBC=180°（?）， 又由鄰補角知∠MBC+∠GBC=180°（?）， 對比（?）（?）得∠GDC=∠MBC. 在△CDG和△CBM中 CD=CB，（已知）∠GDC=∠MBC，（已證）DG=BM.（
6、輔助線作法） ∴△CDG≌△CBM（SAS）， ∴CG=CM，∠DCG=∠BCM. 又∠DCB=60°，即∠DCG+∠GCB=60°， ∴∠BCM+∠GCB=60°，即∠GCM=60°. 由“有一角為60°的等腰三角形是等邊三角形”知△CMG是等邊三角形. ∴S四邊形BCDG=S△CDG+S△CGB=S△CBM+S△CGB=S△CGM=CG2. 對于結論③，用八年級知識，又該怎樣證明？4 分析：從題設來看，條件、結論與點C無關，將圖形剝離出來，如圖4，要求出FG與BG的關系，只需求出△DFG與△BDG的面
7、積關系即可.這又通過AD=AB，DF=AE，AF=2DF進行面積之間的轉化. 證明：如圖4，連接AG，設組成△ABD的五個三角形△GDF、△GFA、△GAE、△GBE、△GBD的面積分別為S1、S2、S3、S4、S5. ∵△DAB為等邊三角形，且DF=AE， ∴BE=AF=2AE，即同一直線上的兩線段AE：EB=1：2， ∴S4=2S3，S△BDE=2S△ADE， 即S4+S5=2（S1+S2+S3）.（?） 又S2=2S1，代入式子（?）， 得2S3+S5=2（S1+2S1+S3）， 化簡，得S5=6S
8、1. 又△DFG與△DBG的邊FG、BG在同一直線上，且高是同一線段， 即BG?h=6×（FG?h）∴BG=6FG. 當然，對于九年級同學來說，結論②可運用旋轉或四點共圓的知識進行證明；結論③可運用線段成比例或三角形相似的知識進行解答.同學們，試試看！4
