例談“變化率”

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1、例談“變化率”　　　　　　　　(1.北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院北京100083)　　(2.張家口市第一中學(xué)河北張家口075000)　　　　在眾多的物理量之間的關(guān)系中，有一類普遍而重要的關(guān)系，即某物理量對(duì)于另一物理量的變化率是一個(gè)新的物理量.例如：位移對(duì)時(shí)間的變化率是速度；速度對(duì)時(shí)間的變化率是加速度；對(duì)單匝線圈，電動(dòng)勢(shì)等于磁通變化率；等等.變化率的幾何意義是，函數(shù)曲線在某點(diǎn)的切線的斜率.　　近年來，隨著導(dǎo)數(shù)知識(shí)納入高中數(shù)學(xué)教材，對(duì)物理量“變化率”的理解與應(yīng)用，已成為物理高考命題的熱點(diǎn).同時(shí)由于高中物理教材的局限，在多個(gè)知識(shí)點(diǎn)

2、上，對(duì)相關(guān)物理量之間存在的“變化率”關(guān)系，并沒有明確闡述，從而造成學(xué)生高考的難點(diǎn).因此有必要在高三物理總復(fù)習(xí)中，對(duì)下列知識(shí)點(diǎn)從“變化率”的角度加深理解，提高解決問題的能力.　　1電流是電量隨時(shí)間的變化率　　對(duì)電容器充放電電路來說，電流i=ΔqΔt.　　又由Δq=CΔu,　　所以i=CΔuΔt.6　　例1(2013年高考新課標(biāo)Ⅰ卷試題)如圖1，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面夾角為θ，間距為L.導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C.導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面.在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬

3、棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，忽略所有電阻.讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：　　(1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；　　(2)金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系.　　解(1)設(shè)金屬棒m以速度v下滑時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv.電容器兩極板間電壓U=E；電容器極板上積累的電荷量：q=CU,所以q=CBLv.　　(2)金屬棒m受重力mg；　　支持力N=mgcosθ；　　滑動(dòng)摩擦力f=μmgcosθ；　　安培力F=B

4、li作用，做加速運(yùn)動(dòng).由牛頓第二定律　　mgsinθ-μmgcosθ-BLi=ma(1)　　又因?yàn)閕=ΔqΔt=CΔuΔt,　　且Δu=BLΔv,　　所以i=CBLΔvΔt=CBLa(2)　　(2)式代入(1)式整理得　　a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2(3)　　由(3)式可見金屬棒沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，　　所以v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2t.6　　上述解題過程的關(guān)鍵是找出回路中的電流、電壓與金屬棒運(yùn)動(dòng)的速度、加速度之間的關(guān)系，而電流i=ΔqΔt,則是關(guān)節(jié)點(diǎn)與突破口.　　2電場(chǎng)強(qiáng)度

5、是電勢(shì)隨空間的變化率　　高中物理教材給出了勻強(qiáng)電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度E與電勢(shì)差U的關(guān)系：E=Ud.實(shí)際上這一關(guān)系可以推廣到非勻強(qiáng)電場(chǎng)，對(duì)任意靜電場(chǎng)有　　E=-dφdlcosθ,　　式中dφ=φ2-φ1，為相距十分臨近的兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；dl為這兩點(diǎn)間的距離；θ為這兩點(diǎn)連線方向與等勢(shì)面法線方向的夾角；負(fù)號(hào)表示電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向與電勢(shì)梯度方向相反.　　特殊地，當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸時(shí)，在x軸上相距十分臨近的兩點(diǎn)間的距離為Δx，這兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為Δφ，則電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為：E=ΔφΔx.可見，電場(chǎng)強(qiáng)度是電勢(shì)隨空間的變化率，電勢(shì)隨空間變化

6、的快慢反映了電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向指向電勢(shì)降落最快的方向.　　例2(2009年江蘇高考題)空間某一靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖2所示，x軸上兩點(diǎn)B、C的電場(chǎng)強(qiáng)度x方向上的分量分別是EB、EC，下列說法中正確的有　　A.EB的大小大于EC的大小　　B.EB的方向沿x軸正方向　　C.電荷在O點(diǎn)受到的電場(chǎng)力x方向上的分量最大　　D.負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功　　解根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可知，圖象上某點(diǎn)切線斜率的絕對(duì)值，等于這一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿x軸方向分量的大小，即Ex=ΔφΔx=

7、ta

8、nθ

9、，其中6θ為圖象上某點(diǎn)切線與x軸正方向間的夾角.在圖上做出B、C兩點(diǎn)的切線，可見B點(diǎn)的切線斜率絕對(duì)值大于C點(diǎn)的切線斜率絕對(duì)值，即“EB的大小大于EC的大小”，所以A正確.同時(shí)，可以根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的方向是電勢(shì)降落最快的方向，判斷出EB方向沿x軸負(fù)方向，EC方向沿x軸正方向，B錯(cuò)誤.　　在O點(diǎn)的切線斜率等于零，所以電荷在O點(diǎn)受到的電場(chǎng)力x方向上的分量為零，C錯(cuò)誤.　　在O點(diǎn)左側(cè)，電場(chǎng)沿x軸分量的方向?yàn)閤軸負(fù)方向；在O點(diǎn)右側(cè)，電場(chǎng)沿x軸分量的方向?yàn)閤軸正方向.所以：“負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場(chǎng)力先做正功，后

10、做負(fù)功”，D正確.　　例3(2010年江蘇高考題)空間有一沿x軸對(duì)稱分布的電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度E隨x變化的圖象如圖3所示.下列說法中正確的是　　A.O點(diǎn)的電勢(shì)最低　　B.x2點(diǎn)的電勢(shì)最高　　C.x1和-x1兩點(diǎn)的電勢(shì)相等　　D.x1和x3兩點(diǎn)的電勢(shì)相等　　解圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，說明電場(chǎng)強(qiáng)度E是沿x軸對(duì)稱分布的，電場(chǎng)線以O(shè)點(diǎn)為中心指向正、負(fù)方向，沿電場(chǎng)線電勢(shì)降落