全國初中數學競賽試題及參考答案

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1、2013年全國初中數學競賽試題及參考答案一．選擇題（5×7'=35'）1.對正整數n，記n！=1×2×...×n,則1!+2!+3!+...+10!的末位數是()．A．0B．1C．3D．5【分析】時，！的個位數均為0，只考慮前4個數的個位數之和即可，1+2+6+4=13，故式子的個位數是3.　本題選C．2.已知關于x的不等式組恰好有5個整數解，則t的取值范圍是()．【分析】，則5個整數解是．注意到時，只有4個整數解．所以，本題選C3.已知關于x的方程恰好有一個實根，則實數a的值有()個．A．1B．2C．3D．4【分析】，下面先考慮增根：?。┝?，則，當時，（舍

2、）；ⅱ）令，則，當時，（舍）；再考慮等根：ⅲ）對，，當.故，共3個.本題選C．1.如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為()．A．3B．4C．5D．6【分析】設底邊上的高為，則，本題選D．2.在分別標有號碼2,3,4,...,10的9個球中，隨機取出兩個球，記下它們的標號，則較大標號被較小標號整除的概率是()．【分析】本題選B．二．填空題（5×7'=35'）3.設，b是a2的小數部分，則的值為．【分析】考慮到，則則4.一個質地均勻的正方體的六個面上分別標有數1、

3、2、3、4、5、6．擲這個正方體三次，則其朝上的面的數的和為3的倍數的概率是．【分析】對第一次向上面為1時，后面兩次所得數字與1的和是3的倍數有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12種；對于首次擲得向上的面是2，3，4，5，6的，后面兩次與首次的和為3的倍數是輪換對稱的，故和為3的倍數共有，而總次數是次，則其概率為.8.已知正整數a、b、c滿足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，則abc的最大值為．【分析】先消去c，再配方估算．觀察易知上式中，故，經試算，時，均不是整數；當時，，于是有，

4、故．8.實數a、b、c、d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c、d，則所有滿足條件的數組（a、b、c、d）為．【分析】由根與系數關系知，然后可得（a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)本題在化簡過程中，總感覺還有，此處僅給出一組，好像不嚴謹，期待官方答案．9.小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，園珠筆每支售7元，開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當天雖然沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了支圓珠筆．【分析】設4元的賣x支，7元的賣y支，則令，則，又，即，即他至少賣了

5、207支圓珠筆．三．解答題（4×20'=80'）11．如圖，拋物線y=ax2+bx-3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OB=OC=3OA．直線與y軸交于點D，求∠DBC-∠CBE．【分析】易知，，作EF⊥CO于F，連CE，易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形，則△CBE是直角三角形．分別在Rt△OBD、Rt△BCE中運用正切定義，即有，則從而可得∠DBC-∠CBE=45o．12．如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓周上一點，D為線段OB內一點(不是端點)，滿足CD⊥AB，DE⊥CO，E為垂足，若CE=10，且AD與DB的長均為正

6、整數，求線段AD的長．【分析】設圓O半徑為r，則由相似或三角函數或射影定理可知，，又由相交弦定理（考慮垂徑時）或連AC、BC用相似或三角函數，易知①，而②令，①/②即，顯然有，則，即，為正整數，故，又也為正整數，經逐一試算，僅當這一組是正整數，故.13．設a、b、c是素數，記，當時，a、b、c能否構成三角形的三邊長？證明你的結論．【分析】a、b、c是素數，則為整數，則，為正整數．化簡整理后，有ⅰ),不能圍成三角形;ⅱ)綜上所述，以a、b、c不能圍成三角形．14．如果將正整數M放在正整數m左側，所得到的新數可被7整除，那么稱M為m的“魔術數”（例如，把86放在

7、415的左側，得到的數86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數)．求正整數n的最小值，使得存在互不相同的正整數a1，a2，．．．，an，滿足對任意一個正整數m，在a1，a2，．．．，an中都至少有一個為m的“魔術數”．【分析】考慮到魔術數均為7的倍數，又a1，a2，．．．，an互不相等，不妨設，余數必為1、2、3、4、5、6，0，設，（），至少有一個為m的“魔術數”．因為（k是m的位數)，是7的倍數，當時，而除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6中的6個；當時，而除以7的余數都是0，1，2，3，4，5，6這7個數字循環(huán)出現，當時，依抽屜原理，與m

8、二者余數的和至少有一個是7，此時被7整除，即n=7．