例談分類(lèi)與整合思想的應(yīng)用

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1、例談分類(lèi)與整合思想的應(yīng)用  分類(lèi)與整合思想的考查在高考中占有比較重要的位置,通常以解答題為主進(jìn)行考查.為什么要分類(lèi)?如何分類(lèi)?如何整合?這就要求學(xué)生必須有嚴(yán)謹(jǐn)、周密的邏輯思維能力和一定的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.  一、對(duì)含有參數(shù)的字母進(jìn)行分類(lèi)與整合  例1:已知a∈R,求f(x)=x2eax的單調(diào)區(qū)間.  解:函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù):f'(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax; ?。?)當(dāng)a=0時(shí),若x0,則f'(x)>0.  所以當(dāng)a=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù). ?。?)當(dāng)a

2、>0時(shí),由2x+ax2>0,解得x0,  由2x+ax2<0,解得-■0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-■)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(-■,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)為增函數(shù);  (3)當(dāng)a0,解得0-■.  所以,當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(0,-■)內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間(-■,+∞)內(nèi)為減函數(shù).  評(píng)注:數(shù)學(xué)問(wèn)題中含有變量或參數(shù),這些變量或參數(shù)取不同的值時(shí)會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果,故需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論,再適當(dāng)進(jìn)行整合.  二、對(duì)排列、組合、概率問(wèn)題中各種可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分類(lèi)與整合

3、3  例2:盒子有大小相同的球10個(gè),其中標(biāo)號(hào)為1的球3個(gè),標(biāo)號(hào)為2的球4個(gè),標(biāo)號(hào)為5的球3個(gè),第一次從盒子中任取1個(gè)球,放回后第二次再任取1個(gè)球(假設(shè)取到每個(gè)球的可能性都相同),記第一次與第二次取到球的標(biāo)號(hào)之和為ξ,求ξ的分布列.  解:記ξ=k為所取兩球標(biāo)號(hào)之和,則k=2,3,4,6,7,10.  P(ξ=2)=■×■=■;  P(ξ=3)=2×■×■=■;  P(ξ=4)=■×■=■;  P(ξ=6)=2×■×■=■;  P(ξ=7)=2×■×■=■;  P(ξ=10)=■×■=■.  ∴ξ的分布列為  評(píng)注:排列、組合、概率問(wèn)題是考查

4、分類(lèi)與整合思想的重要載體,應(yīng)使學(xué)生學(xué)會(huì)如何分步研究解決或分類(lèi)研究解決,然后再由它們整合出所要求的結(jié)果.  三、對(duì)幾何問(wèn)題中元素的形狀、位置變化情況進(jìn)行分類(lèi)整合  例3:在平面直角坐標(biāo)系中,已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)為2,寬為1、AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合(如圖所示),將矩形折疊,使A點(diǎn)落在線段DC上.(Ⅰ)若折痕所在直線的斜率為k,試寫(xiě)出折痕所在直線的方程;(Ⅱ)求折痕的長(zhǎng)的最大值.  解:(1)當(dāng)k=0時(shí),此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合,折痕所在的直線方程y=■;3 ?。?)當(dāng)k≠0時(shí),將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G

5、(a,l),所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱(chēng),有kOGk=-1,■k=-1?圯a=-k;故G點(diǎn)坐標(biāo)為G(-k,l),從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)(線段OG的中點(diǎn))為M(-■,■),折痕所在的直線方程y-■=k(x+■),即y=kx+■+■.  (Ⅱ)(1)當(dāng)k=0時(shí),折痕的長(zhǎng)為2. ?。?)當(dāng)k≠0時(shí),折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為N(0,■),P(-■,0),設(shè)PN=d,  d=PN2=(■)2+(-■)2=■  d'=■  令d'=0,解得k=-■  ∴PN■■=■,PNmax=■<2  由折痕可知k<0,所以折痕的長(zhǎng)度的最大值

6、2.  評(píng)注:涉及各種圖形元素的位置關(guān)系時(shí)應(yīng)考慮周密,不重不漏.  在重視分類(lèi)與整合思想的應(yīng)用時(shí),也應(yīng)防止見(jiàn)凡參數(shù)就討論的輕率做法,能整體解決的就不必分類(lèi)討論,辯證地運(yùn)用分類(lèi)與整合來(lái)解題.  責(zé)任編輯羅峰3

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