由簡(jiǎn)單的幾何圖形變換得到的啟示

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1、由簡(jiǎn)單的幾何圖形變換得到的啟示　　摘要：數(shù)學(xué)廣泛存在于生活中，善于開發(fā)和利用學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)資源與素材進(jìn)行加工和創(chuàng)造，有利于提高學(xué)生的知識(shí)視野。關(guān)注數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，注重?cái)?shù)學(xué)模型的作用，有助于學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)?！　￡P(guān)鍵詞：三角板；旋轉(zhuǎn)的不變性；創(chuàng)造能力；邏輯思維能力　　隨著課改的進(jìn)行及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的實(shí)施，處處體現(xiàn)生活中存在數(shù)學(xué)。怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，其實(shí)數(shù)學(xué)就在身邊，留心觀察，細(xì)心思考，你會(huì)體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇妙與快樂。下面就簡(jiǎn)單的一副三角板的開發(fā)和利用，談點(diǎn)自己的看法與啟示。　　首先進(jìn)入我們視野的是等腰直角三角形，這是一個(gè)德才兼?zhèn)涞膸缀螆D形，它既具有等

2、腰三角形的性質(zhì)又具有直角三角形的性質(zhì)。研究起來(lái)會(huì)妙筆生花，細(xì)心的品讀它帶給我們的快樂。取一對(duì)全等的含45度角的三角板進(jìn)行簡(jiǎn)單的探究活動(dòng)，將△MNK的直角頂點(diǎn)M放在△ABC的斜邊中點(diǎn)上。設(shè)AC=BC=4，　?。?）如圖1，兩三角板重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積是多少？周長(zhǎng)為多少？　　顯而易見：△ACM的面積等于△ABC的一半周長(zhǎng)等于AB+AC，而AB的長(zhǎng)由勾股定理求得。4　?。?）將圖1中的三角板MNK繞頂點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度角，得到圖2，則重疊部分的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？周長(zhǎng)為多少？類比圖1很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)沒有變化周長(zhǎng)為8?！　。?）將△MNK繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到不同于圖1和圖2的位置，你

3、猜想此時(shí)重疊部分面積會(huì)發(fā)生變化嗎？如果不發(fā)生變化，請(qǐng)說出理由。于是學(xué)生投入到激烈討論中，這種跳躍性思維躍然于紙上。啟發(fā)在已有的研究成果基礎(chǔ)上去構(gòu)造，既然△MNK是旋轉(zhuǎn)變化的，能不能轉(zhuǎn)換為圖1于圖2的圖形。觀察與研究發(fā)現(xiàn)面積不變，那又怎樣證明。連接CM會(huì)發(fā)現(xiàn)△CMG會(huì)和△APM全等，可以看成△CMG繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)90度角得到的，此時(shí)圖形旋轉(zhuǎn)起到了一個(gè)驚人的變化。由特殊到一般揭示了圖形變換的本質(zhì)，一石激起千層浪，讓學(xué)生自己拼圖利用三角板反復(fù)進(jìn)行仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？小組討論、研究。追問：在圖3中，AP=1的情況下，怎樣求重疊部分的周長(zhǎng)？生1：壞了，這下掉進(jìn)老師設(shè)的陷阱里了，出不來(lái)了。此時(shí)，

4、我靜靜地等待學(xué)生研究成果。生2：AP=1，CP=3，由三角形全等知：CG=AP=1，可PM=MG=？此時(shí)，陷入僵局，大部分同學(xué)投入積極的思考中，既然是旋轉(zhuǎn)大家能不能轉(zhuǎn)化為圖1，圖2呢？從中得到哪些啟示。圖3能轉(zhuǎn)化為圖2嗎？聯(lián)想與旋轉(zhuǎn)變化交替進(jìn)行，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)進(jìn)入了又一個(gè)高峰。積極的思考和點(diǎn)撥，讓學(xué)生在思維的碰撞中產(chǎn)生火花。生3：老師我知道了。生4：我也知道了。我抓住有利時(shí)機(jī)，問什么在這里起到了重要的作用，勾股定理即可求DM的長(zhǎng)。從中看到了旋轉(zhuǎn)的作用，全等變換其形變本質(zhì)不變，找到恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到融會(huì)貫通的目的?！　∷季S的發(fā)散與變式正是研究問題的恰好時(shí)機(jī)，此時(shí)展示2013年河南

5、省中考試題，實(shí)現(xiàn)思維的正向遷移。4　　將兩塊全等的含30度的三角板如圖4放在一起，△ABC與△DEC重合放置，∠C=90度，∠B=∠E=30度。（1）操作發(fā)現(xiàn)：固定△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，如圖5，填空：①線段DE與AC位置關(guān)系_______。②設(shè)△BCD的面積與△AEC的面積的數(shù)量關(guān)系是。③猜想論證：當(dāng)△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖6的位置時(shí)，小馬猜想②中的結(jié)論仍然成立，并嘗試分別做△BDC和△AEC的BC與CE邊上的高，請(qǐng)你證明小馬的猜想。　　有了前一個(gè)習(xí)題的鋪墊，①②兩問學(xué)生會(huì)順利地得到解答。③的解答細(xì)細(xì)的思考會(huì)發(fā)現(xiàn)，既然是旋轉(zhuǎn)，抓住旋轉(zhuǎn)的不變性及旋轉(zhuǎn)前后的圖形全

6、等的特征，可證△ACN≌△DCM即可?！　‘?dāng)替換條件時(shí)，∠BAC=36度，△ABC為等腰三角形，上述條件不改變，就變?yōu)橐话闱闆r，這樣從一般到特殊的思維方法。拓展學(xué)生的知識(shí)視野，舉一反三，融會(huì)貫通使知識(shí)達(dá)到成片開發(fā)，提高學(xué)生的想象能力及邏輯思維能力，達(dá)到訓(xùn)練目的。4　　啟示：在這節(jié)習(xí)題課中，旋轉(zhuǎn)的特殊性質(zhì)，抓住旋轉(zhuǎn)的不變性，利用全等條件，仔細(xì)觀察圖形的變化，啟發(fā)學(xué)生思維開發(fā)和利用旋轉(zhuǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，一題多用，變換條件。螺旋上升，使學(xué)生的視野開闊，提升解答問題的能力。教學(xué)中只要留心觀察，認(rèn)真研究習(xí)題的變化和解題規(guī)律就會(huì)有所收獲。充分利用學(xué)生手中的三角板進(jìn)行演示，拼接通過全方位觀察思考，運(yùn)

7、用工具進(jìn)行知識(shí)重組和解答，無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和獨(dú)創(chuàng)性有著十分重要的意義。事實(shí)上，充滿思考性的練習(xí)題即使學(xué)生沒能完全正確解答出來(lái)，也能有效地訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)新思維。這不僅有利于提高學(xué)生思考、分析的積極性，也有利于開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造潛能。創(chuàng)造性思維不僅要求思維的數(shù)量，還要求思維的深度和靈活性，即思維的變通性。創(chuàng)造性教學(xué)則是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)。所以教師在教學(xué)過程中要從多角度訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，使學(xué)生能獨(dú)立地、自覺地運(yùn)用所給問題的條件，并做出新的變換和組合，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)變能