第-講數(shù)列的極限典型例題

第-講數(shù)列的極限典型例題

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1、資料第一講數(shù)列的極限一、內(nèi)容提要1.數(shù)列極限的定義,有.注1的雙重性.一方面,正數(shù)具有絕對(duì)的任意性,這樣才能有無限趨近于另一方面,正數(shù)又具有相對(duì)的固定性,從而使不等式.還表明數(shù)列無限趨近于的漸近過程的不同程度,進(jìn)而能估算趨近于的近似程度.注2 若存在,則對(duì)于每一個(gè)正數(shù),總存在一正整數(shù)與之對(duì)應(yīng),但這種不是唯一的,若滿足定義中的要求,則取,作為定義中的新的一個(gè)也必須滿足極限定義中的要求,故若存在一個(gè)則必存在無窮多個(gè)正整數(shù)可作為定義中的.注3 的幾何意義是:對(duì)的預(yù)先給定的任意鄰域,在中至多除去有限項(xiàng),其余的無窮多項(xiàng)將全

2、部進(jìn)入.注4 ,有.2. 子列的定義在數(shù)列中,保持原來次序自左往右任意選取無窮多個(gè)項(xiàng)所得的數(shù)列稱為的子列,記為,其中表示在原數(shù)列中的項(xiàng)數(shù),表示它在子列中的項(xiàng)數(shù).注1對(duì)每一個(gè),有.注2對(duì)任意兩個(gè)正整數(shù),如果,則.反之,若,則.注3,有.注4的任一子列收斂于.3.數(shù)列有界對(duì)數(shù)列,若,使得對(duì),有,則稱數(shù)列為有界數(shù)列.4.無窮大量對(duì)數(shù)列,如果,,有,則稱為無窮大量,記作..資料注1只是一個(gè)記號(hào),不是確切的數(shù).當(dāng)為無窮大量時(shí),數(shù)列是發(fā)散的,即不存在.注2若,則無界,反之不真.注3設(shè)與為同號(hào)無窮大量,則為無窮大量.注4設(shè)為無

3、窮大量,有界,則為無窮大量.注5設(shè)為無窮大量,對(duì)數(shù)列,若,使得對(duì),有,則為無窮大量.特別的,若,則為無窮大量.5.無窮小量若,則稱為無窮小量.注1若,有界,則.注2若,則;若,且使得對(duì),,則.6.收斂數(shù)列的性質(zhì)(1)若收斂,則必有界,反之不真.(2)若收斂,則極限必唯一.(3)若,,且,則,使得當(dāng)時(shí),有.注這條性質(zhì)稱為“保號(hào)性”,在理論分析論證中應(yīng)用極普遍.(4)若,,且,使得當(dāng)時(shí),有,則.注這條性質(zhì)在一些參考書中稱為“保不等號(hào)(式)性”.(5)若數(shù)列、皆收斂,則它們和、差、積、商所構(gòu)成的數(shù)列,,,()也收斂,且

4、有             ,.資料             ,           ?。ǎ?.迫斂性(夾逼定理)若,使得當(dāng)時(shí),有,且,則.8.單調(diào)有界定理單調(diào)遞增有上界數(shù)列必收斂,單調(diào)遞減有下界數(shù)列必收斂.9.Cauchy收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是:,有.注 Cauchy收斂準(zhǔn)則是判斷數(shù)列斂散性的重要理論依據(jù).盡管沒有提供計(jì)算極限的方法,但它的長處也在于此――在論證極限問題時(shí)不需要事先知道極限值.10.BolzanoWeierstrass定理有界數(shù)列必有收斂子列.11.12.幾個(gè)重要不等式(1)(2)算術(shù)-

5、幾何-調(diào)和平均不等式:對(duì)記(算術(shù)平均值)(幾何平均值)(調(diào)和平均值)有均值不等式:等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.(3)Bernoulli不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過)對(duì)由二項(xiàng)展開式.資料(4)Cauchy-Schwarz不等式: (),有     ?。ǎ担?3. O.Stolz公式二、典型例題1.用“”“”證明數(shù)列的極限.(必須掌握)例1 用定義證明下列各式:(1);(2)設(shè),,則;(97,北大,10分)(3)證明:(1),欲使不等式       成立,只須,于是,,取,當(dāng)時(shí),有       即.(2)由,,知,

6、有,則于是,,有,即            ?。ǎ常┮阎?yàn)?資料,所以,,欲使不等式成立,只須.  于是,,取,當(dāng)時(shí),有      ,即        .評(píng)注1 本例中,我們均將做了適當(dāng)?shù)淖冃危沟?,從而從解不等式中求出定義中的.將放大時(shí)要注意兩點(diǎn):①應(yīng)滿足當(dāng)時(shí),.這是因?yàn)橐?,必須能夠任意小;②不等式容易求解.評(píng)注2 用定義證明,對(duì),只要找到一個(gè)自然數(shù),使得當(dāng)時(shí),有即可.關(guān)鍵證明的存在性.評(píng)注3 在第二小題中,用到了數(shù)列極限定義的等價(jià)命題,即:(1),有(為任一正常數(shù)).(2),有.例2 用定義證明下列各

7、式:(1);(92,南開,10分)(2)證明:(1)(方法一)由于(),可令(),則.資料()當(dāng)時(shí),,有      即    ?。共坏仁匠闪?,只須.于是,,取,當(dāng)時(shí),有,即        .(方法二)因?yàn)?,所以,,欲使不等式成立,只須.于是,,取,?dāng)時(shí),有,即       ?。ǎ玻┊?dāng)時(shí),由于,可記(),則()當(dāng)時(shí),,于是有.資料.,欲使不等式成立,只須.對(duì),取,當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),(),而.則由以上證明知,有,即,故.評(píng)注1 在本例中,,要從不等式中解得非常困難.根據(jù)的特征,利用二項(xiàng)式定理展開較容易.要注意,

8、在這兩個(gè)小題中,一個(gè)是變量,一個(gè)是定值.評(píng)注2 從第一小題的方法二可看出算術(shù)-幾何平均不等式的妙處.評(píng)注3 第二小題的證明用了從特殊到一般的證法.例 用定義證明:()(山東大學(xué))證明:當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí),欲使成立,只須.于是,取,當(dāng)時(shí),有.資料即               .例 設(shè),用“”語言,證明:.證明:當(dāng)時(shí),結(jié)論恒成立.當(dāng)時(shí),,欲使只須.于是,取,當(dāng)時(shí),有即

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