直線參數(shù)方程在解題上的應(yīng)用探析

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1、直線參數(shù)方程在解題上的應(yīng)用探析　　【摘要】直線參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)新課程選修4-4中的內(nèi)容，也是新課程新增內(nèi)容。其在求圓錐曲線的切線方程、解與線段中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題、解與線段長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題、解決有關(guān)極值的一些問(wèn)題等方面有著重要的作用?？v觀歷年來(lái)高考真題，不滿發(fā)現(xiàn)直線與圓錐曲線的綜合題向來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，而如果合理利用直線方程的另一種形式?D?D參數(shù)式，則可以讓學(xué)生從一個(gè)全新的角度去認(rèn)識(shí)這些問(wèn)題，幫助學(xué)生更快地找到解題方式。本文就如何利用直線參數(shù)方程解題，作了詳細(xì)闡述，以資參考?！　　娟P(guān)鍵詞】直線參數(shù)方

2、程；解題；應(yīng)用　　一、參數(shù)t的幾何意義及常用性質(zhì)　　設(shè)過(guò)定點(diǎn)M0（x0，y0），且傾斜角為α的直線l參數(shù)方程為x=x0+tcosα　　y=y0+tsinα（t為參數(shù)）。其中，參數(shù)方程中的參數(shù)t具有四個(gè)常用的性質(zhì)：　　第一，若t>0，點(diǎn)M位于M0的上方，相反，位于M0的下方，而當(dāng)t=0的時(shí)候，點(diǎn)M和M0是重合的[1]?！　〉诙?，直線參數(shù)方程中的參數(shù)t可以代表直線l上M0到任意點(diǎn)M（x，y）有向線段M0M的數(shù)量，用公式表示為t=M0M。4　　第三，若直線l上的M1點(diǎn)與M2點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1與t2，那么

3、，M1M2=t1-t2，并且滿足M0M1M0M2=t1t2的關(guān)系。如果M0點(diǎn)在M1與M2之間，則滿足t1t20?！　〉谒?，若點(diǎn)M為M1M2中點(diǎn)，而點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，那么t=t1+t22。　　二、利用直線參數(shù)方程解題　　1.利用直線參數(shù)方程求圓錐曲線的切線方程　　直線參數(shù)方程在圓錐曲線切線方程中的實(shí)際應(yīng)用中，最重要的就是將切線的方程轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程，然后將其代入到原有的圓錐曲線方程中，進(jìn)而獲得有關(guān)參數(shù)t的二次方程。下面以過(guò)定點(diǎn)的切線為例，求解橢圓的切線方程，具體方法如下：　　題目?jī)?nèi)容為，橢圓方程

4、為9x2+y2=25，求過(guò)定點(diǎn)（-1，4）的切線方程?！　〗忸}思路如下，因?yàn)槎c(diǎn)在橢圓之上，所以，可以將橢圓方程轉(zhuǎn)換成含有t的切線方程，即x=-1+tcosα　　y=4+tsinα（t為參數(shù)），然后將其帶入到9x2+y2=25公式中，進(jìn)而獲取方程為9（-1+tcosα）+（4+tsinα）2=25，經(jīng)過(guò)相應(yīng)的整理可以得出方程，即（9cos2+sin2α）t2-（18cosα-8sinα）t=0，同時(shí)，目標(biāo)直線與橢圓的位置關(guān)系是相切，所以可以形成關(guān)系式，即△=（18cosα-8sinα）2=0，所以

5、得出tanα=94，因此，y-4=94×（x+1），經(jīng)整理可得出切線的方程，即9x-4y+25=0?！　?.利用直線參數(shù)方程解與線段的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題　　在求解線段中點(diǎn)的相關(guān)問(wèn)題中可以引進(jìn)直線的參數(shù)方程，若線段MN的中點(diǎn)為M1，并且具體的坐標(biāo)是（x0，y0），將M，N的參數(shù)分別假定為t1與t2，那么t1+t2=0。通過(guò)運(yùn)用上述關(guān)系式，可以求解線段所在直線的斜率，或者是始終變化中點(diǎn)（x0，y0）坐標(biāo)間的具體關(guān)系[3]。4　　以雙曲線的數(shù)學(xué)運(yùn)算為例進(jìn)行分析，雙曲線的方程為x24-y23=1，其中存在一弦

6、AB是由定點(diǎn)（4，1）平分，求解直線AB的方程?！　】梢詫⒅本€AB的方程轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程，即x=4+tcosα　　y=1=tsinα（t為參數(shù)）然后將參數(shù)方程代入到原有的雙曲線方程中，獲得方程，3（4+tcosα）2-4（1+tsinα）2=12，經(jīng)整理可以得出（3cos2α-tsin2α）t2-8（sinα-3cosα）t+32=0。同時(shí)，AB弦被（4，1）點(diǎn)平分，所以可以得出t1+t2=0，也就是sinα-3cosα=0，得出tanα=3。因此，直線AB方程可以表示成y-1=3（x-4），經(jīng)整理

7、得出3x-y-11=0?！　?.利用直線參數(shù)方程解與線段長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題　　應(yīng)用直線參數(shù)方程來(lái)求解與線段長(zhǎng)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，既可以避免求解交點(diǎn)的坐標(biāo)，還無(wú)需應(yīng)用兩點(diǎn)之間的距離公式。下面以具體數(shù)學(xué)例題為例進(jìn)行分析：　　已知拋物線的方程為y2=4x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)F為（1，0），求解過(guò)此焦點(diǎn)且傾斜角是3π4的直線AB長(zhǎng)。首先可以將拋物線方程轉(zhuǎn)換成參數(shù)方程，為x=1+tcos3π4　　y=tsin3π4（t為參數(shù)），經(jīng)整理可得，x=1-22t　　y=22t（t為參數(shù)），然后將所得公式代入到拋物線方程y2=4x中

8、，可得t2+42t-8=0，再通過(guò)根和系數(shù)之間的關(guān)系可以得出方程t1+t2=-42t，t1t2=-8，進(jìn)而得出直線AB的長(zhǎng)度為8?！　?.利用直線參數(shù)方程解決有關(guān)極值的一些問(wèn)題　　在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有關(guān)極值的問(wèn)題也可以使用直線參數(shù)方程來(lái)解決，下面以具體例題為例進(jìn)行分析。4　　已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（1，1），并且其傾斜角為α，同時(shí)直線與橢圓相交與M、N兩點(diǎn)，橢圓的方程為x24+y2=1，則當(dāng)α為何值時(shí)，可以使

9、MP

10、?

11、NP

12、取得最值，并求解最值。　　具體的解題過(guò)程如下，可以將直線