一道習(xí)題引起的思考

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1、數(shù)學(xué)教材中一道習(xí)題的探究——陜?cè)L省禎巴縣松樹(shù)初銀屮禽赦皆謀塑狙球舍江鐘夂汪何親興電話：0916—6979034郵編：723607E-mail:783313577@qq.com在現(xiàn)行使用的華東師大版九年級(jí)（下）數(shù)學(xué)教材第29章《幾何的回顧》中，P82習(xí)題29.2的第5題是這樣提出問(wèn)題的：一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是否一定是平行四邊形？如果一定是，請(qǐng)給出證明；如果不一定是，請(qǐng)舉出反例。對(duì)于這道題目，不同的輔導(dǎo)資料給出了不同的結(jié)論。一、華東師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)教師用書(shū)》（九下）給出的答案如下：不一定。作AABD,使AABD的三邊各不相等。不妨設(shè)

2、BD最長(zhǎng)，以BD為對(duì)稱軸作AABD的對(duì)稱三角形CBD,則在四邊形ABCD中，AB二CB,ZA二ZC,但是四邊形ABCD不是平行四邊形。如圖（1）所示:D顯然，根據(jù)答案的做法，得到：在四邊形ABCD中，AB二CB,ZA二ZC,四邊形ABCD不是平行四邊形這樣的結(jié)論。但是，AB與CB并不是對(duì)邊，而是鄰邊。因此，這樣的作法及說(shuō)理均不符合題目要求。二、北京教育出版社出版的《倍速學(xué)習(xí)法》（配華東師范大學(xué)出版社實(shí)驗(yàn)教科書(shū)）給出的答案是:一定是平行四邊形。證明如下：如圖(2):圖(2)ZB二ZD,AB二CD,過(guò)A作AE丄BC,過(guò)C作CF丄AD,則ZAEB=ZCFD=90°,在AABE和A

3、CFD中，rZB二ZD,

4、的解答，我們認(rèn)為“觀察圖形這是不可能的”這一句話缺乏理論邏輯。另外，由于解題者一開(kāi)始就認(rèn)定這是一個(gè)平行四邊形，所以討論問(wèn)題時(shí)就已經(jīng)陷入了一個(gè)固定的思維圈子。三、山東科學(xué)技術(shù)出版社出版的《教材問(wèn)題、習(xí)題解答》（配華東師大版）給出了如下的答案：不一定是。反例：如圖（4）,在等腰三角形ABE的底邊BE上取一點(diǎn)C（不是BE中點(diǎn)），然后作AC的垂直平分線，交AE于點(diǎn)G,連結(jié)CG并延長(zhǎng)至點(diǎn)D,使CD二AE,連結(jié)AD,可知CD二AB。容易證得ZB二ZD,則四邊形ABCD滿足條件，但不是平行四邊形。確實(shí)，該題的作圖以及邏輯推理均是很合理、嚴(yán)密的。這才是本題的正確答案。如果把點(diǎn)C看作一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

5、，在BE上運(yùn)動(dòng)，那么，隨著點(diǎn)C位置的改變，四邊形ABCD的形狀也在發(fā)生不同的變化。也就是說(shuō)，符合條件的四邊形ABCD有無(wú)數(shù)個(gè)；與此同時(shí)，我們改變AABE的形狀，又會(huì)得到無(wú)數(shù)個(gè)符合條件的四邊形ABCDo《當(dāng)點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)時(shí)，得到的四邊形ABCD是平行四邊形，如圖（5））綜上所述，一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形不一定是平行四邊形這個(gè)結(jié)論是勿庸懷疑的。實(shí)際上，要舉出反例，還有一些方法,例如：方法一：（1）、先作ZABE二ZCDF,使AB二CD。（BE和DF不固定長(zhǎng)度）（2）、使點(diǎn)C落在BE上，如圖（6）所示，沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)ZCDF,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，ZCDF的邊DF與AB相交

6、于點(diǎn)A,則所得四邊形ABCD也是符合題目要求的。隨著點(diǎn)C位置的改變，得到的四邊形ABCD也在不斷改變，整個(gè)過(guò)程中，僅當(dāng)AD二BC時(shí)，才會(huì)形成平行四邊形。圖（6）在這種作法中，教師先用自制教具演示，然后讓學(xué)生自制學(xué)具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，從而加深他們對(duì)原命題的正確認(rèn)識(shí)。方法二：如圖（7）所示，ZkCAE中，CA二CE,在AE的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)B（AE工EB）,連結(jié)BC,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)，AC為一邊，作ZACF二ZCEB,在CF上截取CD二EB,于是，ZCEB竺ZACD（S.A.S）,所以，ZB二ZD,AD二BC（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等），則四邊形ABCD符合題目條件，但不是平行四

7、邊形。（當(dāng)AE二EB時(shí)，得到的四邊形ABCD是平行四邊形）圖（7）為了從理論及作法上加深學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)，我們認(rèn)為還是圖（4）和圖（6）介紹的方法比合理。后來(lái)，有些學(xué)生從圖（6）的方法中受到啟發(fā)，運(yùn)用ASA、SSS的作圖原理來(lái)構(gòu)造全等三角形，從而也得到了相同的結(jié)論，這里就不再一一敘述了。對(duì)于教材上的這個(gè)問(wèn)題，我們提出了上述意見(jiàn)，有不妥之處，敬請(qǐng)指正。同時(shí)，希望更多同仁有興趣參與該問(wèn)題的進(jìn)一步探討。二OO九年三月