資源描述：
《高中數(shù)學必修立體幾何專題二面角典型例題解法總結(jié)（doc版）》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、二面角的求法一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐中，底面為
2、矩形，底面，，點M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點（II）求二面角的大小。證（I）略FG解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，過F點在平面ASM內(nèi)作，GF交AS于G，連結(jié)AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中點，∴AM⊥SC，GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵為AM的中點，∴GF是△AMS的中位線，點G是AS的中點。則即為所求二面角.∵，則，F(xiàn)G又∵，∴，∵，∴△是等邊三角形，∴。在△中，，，，∴∴二面角的大小為練習1如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E
3、，F(xiàn)分別是BC,PC的中點.（Ⅰ）證明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運用在二面角的棱AF上找到可計算二面角的平面角的頂點S，和兩邊SE與SC，進而計算二面角的余弦值。（答案：二面角的余弦值為）二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當點P在一個半平面上則通常用
4、三垂線定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。EABCFE1A1B1C1D1D例2．如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。（1）證明：直線EE//平面FCC；（2）求
5、二面角B-FC-C的余弦值。EABCFE1A1B1C1D1DF1OP證（1）略解（2）因為AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以O(shè)B⊥平面CC1F,過O在平面CC1F內(nèi)作OP⊥C1F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角,在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵∴,在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.練習2如圖，在四棱錐中
6、，底面是矩形．已知．（Ⅰ）證明平面；（Ⅱ）求異面直線與所成的角的大?。唬á螅┣蠖娼堑拇笮。瓵BCEDP分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點P就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角的大小為）三．補棱法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。
7、即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決例3如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.ABCEDPFGH分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。（Ⅰ）證略解:（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面
8、PAB,所以AH⊥平面PBE.在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，AF
