4.2復(fù)化求積公式

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1、實用標準文案4.2復(fù)化求積公式一、教學(xué)目標及基本要求通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握積分的復(fù)合求積公式。二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配本節(jié)主要介紹復(fù)合求積公式。具體內(nèi)容如下：牛頓柯特斯公式、復(fù)化求積公式。三、教學(xué)重點難點1．教學(xué)重點：復(fù)化求積公式。2.教學(xué)難點：復(fù)化考特斯求積公式。四、教學(xué)中應(yīng)注意的問題多媒體課堂教學(xué)為主。適當(dāng)提問，加深學(xué)生對概念的理解。五、正文復(fù)合求積公式1公式的推導(dǎo)Newton-Cotes公式是由拉格朗日插值公式推導(dǎo)出來的數(shù)值積分公式。將區(qū)間[a,b]等分n等份,記,分點為,k=0,1,...,n,這n+1個節(jié)點上的函數(shù)值為,從而區(qū)間[a,b]上的拉格朗

2、日插值多項式為精彩文檔實用標準文案由于插值結(jié)點是等距節(jié)點，故插值多項式可以進一步化簡:因為，故，因，作積分變量代換，，當(dāng)x=a時，t=0；當(dāng)x=b時，t=n；故記，我們稱為柯特斯（Cotes）系數(shù)，它不僅與函數(shù)f(x)無關(guān)，而且與積分區(qū)間[a,b]無關(guān)。例如：當(dāng)n=1時(梯形積分公式中的系數(shù)),;當(dāng)n=2時(拋物線積分公式中的系數(shù)),精彩文檔實用標準文案,;當(dāng)n=4時柯特斯公式于是，由柯特斯（Cotes）系數(shù)公式出發(fā)，我們得到n階Newton—Cotes公式：?？绿厮构绞泄?jié)點等距條件下的插值型求積公式，至少具有n次代數(shù)精度，當(dāng)n為偶數(shù)時，能達到n+1次代數(shù)精度。

3、（可以證明）從表中看出n=8時，出現(xiàn)負數(shù)，穩(wěn)定性沒保證，所以一般采用n=4的牛頓-柯特斯求積公式。2低階公式及其余項常用的Newton—Cotes公式a)梯形公式n=1時，積分節(jié)點為，，則數(shù)值積分公式為：其幾何意義是曲邊梯形的面積近似地用梯形面積來代替。其余項b)拋物線公式（辛浦生Simpson公式）n=2時，積分節(jié)點為x0=a，，x2=b；精彩文檔實用標準文案柯特斯系數(shù)為；則數(shù)值積分公式為:其幾何意義是曲邊梯形的面積近似地用由拋物線形成的曲邊梯形面積來代替。其余項c)柯特斯公式n=4時，積分節(jié)點為，，；柯特斯系數(shù)為,；則數(shù)值積分公式為：其余項綜上所述，Newto

4、n-Cotes數(shù)值積分公式具有如下特點：(1)建立在等距積分節(jié)點上，(2)是封閉型的，即兩個端點a,b也是積分節(jié)點，(3)是由拉格朗日插值公式推導(dǎo)而得到的。3Cotes系數(shù)的性質(zhì)引理:Newton—Cotes公式的代數(shù)精確度至少是n。證明:如果是一個次數(shù)不超過n次的多項式，則其拉格朗日插值公式的插值余項為：精彩文檔實用標準文案故，這是對一切x均相等，精確成立。所以，即，數(shù)值積分公式的值精確地等于定積分的值，故n階Newton—Cotes公式的代數(shù)精確度至少是n。性質(zhì)1:歸一公式：證明：由于數(shù)值積分公式的代數(shù)精確度至少為n，故對于，數(shù)值積分公式是精確成立的：，而由上

5、述兩式相等，得到：性質(zhì)2:對稱性：。定理Newton—Cotes公式中，n為奇數(shù)時，代數(shù)精度為n，n為偶數(shù)時，代數(shù)精度為n+1。(用求積公式余項來證明)4復(fù)化求積法隨著n的增加可以減少積分誤差，但高階N-C公式又會造成數(shù)值不穩(wěn)定。另外，通過求積公式的余項可以看出，截斷誤差與積分區(qū)間長度關(guān)系很大。通常將積分區(qū)間劃分成若干小區(qū)間，每個小區(qū)間采用次數(shù)不高的求積公式，再將它們加起來，這類方法稱為復(fù)化求積法。復(fù)化梯形公式精彩文檔實用標準文案將區(qū)間等分n等份,,分點是(k=0,1,...,n),其中。在每個子區(qū)間上用梯形公式則此公式就是復(fù)化梯形公式。余項：梯形公式余項為復(fù)化梯

6、形公式由定積分定義故復(fù)化新甫生公式在每個小區(qū)間上用辛普生公式，記的中點為，得此公式就是復(fù)合辛浦生公式。余項：復(fù)化柯特斯公式精彩文檔實用標準文案每個小區(qū)間四等分，記為，得此公式就是復(fù)化柯特斯公式。余項：算例分別利用梯形公式和Simpson公式計算積分：。解：設(shè),步長h=1/8由復(fù)合梯形公式有：由復(fù)合Simpson公式有(步長h=1/4)：積分的相對精確值為。小結(jié)精彩文檔實用標準文案這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了在低階考特斯求積公式基礎(chǔ)上構(gòu)造的復(fù)化求積公式與變步長算法，重點學(xué)習(xí)了復(fù)合梯形公式、復(fù)合辛普森公式及復(fù)合考特斯公式，這幾個公式都要求大家掌握。1.復(fù)化梯形求積公式2.復(fù)化

7、辛普生公式3.變步長算法：梯形公式的逐次分半算法含義：把區(qū)間[a，b]分成n等份計算其n個小梯形面積；再把區(qū)間[a，b]分成2n等份計算其2n個小梯形面積。預(yù)備知識：則有：先計算，若，再計算，……直到為止，則就是答案。作業(yè)：課后習(xí)題5-8精彩文檔