almansi型分解及其應(yīng)用

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1、摘要多調(diào)和函數(shù)作為多項(xiàng)式函數(shù)的最直接的推廣，其理論在偏微分方程，數(shù)值計(jì)算，小波分析，多復(fù)變函數(shù)論，彈性理論，雷達(dá)成像等領(lǐng)域中有許多重要應(yīng)用．A1．maIlsi分解定理是多調(diào)和函數(shù)理論的核心定理，它是Fischer定理的推廣，F(xiàn)ischer定理是球調(diào)和函數(shù)理論的基礎(chǔ)，F(xiàn)ischer分解通過Fischer內(nèi)積和Bargmann變換緊密相連，Bargmann變換在Heisengberg群表示理論中有重要應(yīng)用(參見[59，36】)．原始的Alma-nsi分解將多調(diào)和理論簡化為調(diào)和函數(shù)理論，早期研究成果匯集在《多調(diào)和函數(shù)》一書【3】中．本文將系統(tǒng)地研究A

2、lmansi分解定理，建立有限型Almansi分解定理和無限型Al-mansi分解定理，建立Cli肋rd分析，Dunkl-Cli肋rd分析，Umbral分析理論中的相應(yīng)的Almansi分解定理．在有限型A1mansi分解定理中，我們將研究雙曲算子，雙曲Helmholtz算子，Dun-¨Laplace算子，Urnbral．Helmholtz算子相應(yīng)的Almansi分解，這推廣了古典的Alma-璐i分解定理關(guān)于L印lace算子及其冪算子的理論．我們所研究的函數(shù)將不再局限于古典情形的復(fù)值函數(shù)，我們將研究Cli肋rd值函數(shù)．值得指出的是，古典的Cli肋

3、rd分析大多局限于在CliⅡbrd代數(shù)C20m我們的理論適用于一般的Cli舫rd代數(shù)GfpI口．(見第二章和第四章)作為有限型Alma璐i分解定理的應(yīng)用，我們完全解決了單位球上關(guān)于雙曲算子的Riquier問題．利用Dunkl算子的Almansi分解，我們給出了多重Dunkl調(diào)和函數(shù)的增長估計(jì)，從而得到了多重Dunl【l調(diào)和函數(shù)的Liouville定理．(見第四章和第五章)無限型Almansi分解定理是級數(shù)形式的分解定理，函數(shù)的研究類型從多調(diào)和函數(shù)擴(kuò)充到了解析函數(shù)．我們得到了星形域上解析函數(shù)無窮級數(shù)表示，其求和項(xiàng)由波函數(shù)給出．這一理論平行于單位球

4、面上平方可積函數(shù)關(guān)于球調(diào)和函數(shù)的分解理論．(見第四章)無限型Almansi分解定理中的級數(shù)表示由關(guān)于雙曲算子的normalizedsystem給出，這需要對normalizedsystem進(jìn)行深入研究．我們得到了波算子，Dunkl．Laplace算子的normalizedsystem．古典情形的normalizedsystem處理的算子是可交換的，我們在Cli舫rd分析中研究normalizedsystem將面臨非交換的算子．我們將normalizedsystem的研究領(lǐng)域推廣到了非交換領(lǐng)域．作為應(yīng)用我們求解了HelIIlholtz方程的具體摘

5、要形式解，研究了波算子的Riquier問題．(見第三章)利用Almansi分解定理，我們試圖研究CIi舶rd分析中的polymonogeIlic函數(shù)理論，例如其Berezin變換理論．Berezin變換在物理上具有重要的應(yīng)用．古典的Berezin變換涉及單位球上的全純函數(shù)或者調(diào)和函數(shù)．我們初步的結(jié)果給出了關(guān)于monogenic函數(shù)的Berezin變換的恒等逼近性質(zhì)．采用的方法是利用M6bius變換處理Cli肋rd分析中復(fù)雜的Bergman核函數(shù)．(見第六章)由于Almansi分解在Cli肋rd分析，Dunkl分析，Umbral分析等分析理論中起

6、著重要作用．Almansi分解定理具有廣闊的應(yīng)用前景．關(guān)鍵詞：Dunkl算子，Dirac算子，Almansi分解，Cli肋rd分析，Umbral分析．1llAbstractBeingthedirectgeneralizationofpolynomialfunctions，polyhaLrmoIlicfunctioIlshaⅣemallyapplicationsinpartialdi伍erentialequations，numericalcomputation，waveletanalysis，severalcomplexwLriables，ela

7、sticitytheoryandradarimagetheory．TheclassicalAlmansidecompositiontheoremisthecoretheoremofthetheoryofpolyharmonicfunctionsanditisthegeneralizationoftheFischerdecompositiontheorem，whichisthefoundationofsphericalharmonicfunctiontheory．TheFischerdecompositioniscloselyrelatedtot

8、heBargmanntransformbytheFischerinnerproductandtheBargmanntransformhasmarlya