【5A版】高數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.ppt

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1、第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家Ferma在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家Newton在許多實(shí)際問題中，需要從數(shù)量上研究變量的變化速度。如物體的運(yùn)動(dòng)速度，電流強(qiáng)度，線密度，比熱，化學(xué)反應(yīng)速度及生物繁殖率等，所有這些在數(shù)學(xué)上都可歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題，即導(dǎo)數(shù)。本章將通過對(duì)實(shí)際問題的分析，引出微分學(xué)中兩個(gè)最重要的基本概念——導(dǎo)數(shù)與微分，然后再建立求導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算公式和法則，從而解決有關(guān)變化率的計(jì)算問題。導(dǎo)數(shù)和

2、微分是繼連續(xù)性之后，函數(shù)研究的進(jìn)一步深化。導(dǎo)數(shù)反映的是因變量相對(duì)于自變量變化的快慢程度和增減情況，而微分則是指明當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，函數(shù)大體上變化多少。重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與微分的定義及幾何解釋導(dǎo)數(shù)與微分基本公式四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t高階導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和參量函數(shù)求導(dǎo)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)，用定義求導(dǎo)，鏈?zhǔn)椒▌t問題的提出導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)小結(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念左、右導(dǎo)數(shù)一、引出導(dǎo)數(shù)概念的兩個(gè)實(shí)例設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為2.曲線的切線斜率曲線在M點(diǎn)處的切線割線MN的極限位

3、置MT(當(dāng)時(shí))割線MN的斜率切線MT的斜率兩個(gè)問題的共性:瞬時(shí)速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.類似問題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).說明:在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,邊際成本率,邊際勞動(dòng)生產(chǎn)率和邊際稅率等從數(shù)學(xué)角度看就是導(dǎo)數(shù).其它形式若上述極限不存在,在點(diǎn)不可導(dǎo).就說函數(shù)★★關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：注意:★★

4、函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部性概念，它反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化快慢，而與臨近點(diǎn)是否可導(dǎo)無關(guān)。存在僅在某一點(diǎn)可導(dǎo)，而在其余點(diǎn)不可導(dǎo)的函數(shù)?！飳?dǎo)數(shù)定義式中的△x必修連續(xù)地趨于零。三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解四、左、右導(dǎo)數(shù)2.右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù):★★★左右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)★例6解五、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若曲線過上升;若曲線過下降;若切線與x軸平行,稱為駐點(diǎn);若切線與x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:例7解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為2.物理意義非

5、均勻變化量的瞬時(shí)變化率.變速直線運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為物體的線(面,體)密度.例7.問曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系證定理若y=f(x)在點(diǎn)可導(dǎo)，則y=f(x)在處一定連續(xù).在點(diǎn)處右導(dǎo)數(shù)存在定理2.函數(shù)在點(diǎn)必右連續(xù).(左)(左)由定理1和定理2,可得:在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)注意:可導(dǎo)的條

6、件要比連續(xù)強(qiáng),存在處處連續(xù)但是處處不可導(dǎo)的函數(shù).★連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例0例如,反例:在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).例如,01例如,011/π－1/π七、小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;4.函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).連續(xù)直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.設(shè)存在,則3.已知?jiǎng)t4.若時(shí),恒有問是否在可導(dǎo)?解:由題設(shè)由夾逼準(zhǔn)則故在可導(dǎo),且

7、5.設(shè),問a取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).作業(yè)P861,5,6,11,16,18牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,

8、所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.練習(xí)題答案