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1、第10卷第1期寧德師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol110No111998年3月JournalofNingdeTeachersCollege(NaturalScience)Mar.1998X廣義模同構(gòu)及其在高等代數(shù)中的應(yīng)用林亞南蘇秀萍(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系廈門361005)摘要本文用代數(shù)上的模和廣義模同構(gòu)的觀點(diǎn),討論“高等代數(shù)”中的若干問題.關(guān)鍵詞廣義模同構(gòu),高等代數(shù),教改中圖分類號O151.21預(yù)備數(shù)域k上的代數(shù)A,指的是非空集合A有兩種運(yùn)算:加法+和乘法×,以及k到A的數(shù)乘運(yùn)算.,它們滿足(Ⅰ)(A;+,.)是k上線性空間;(Ⅱ)(A;+,×)是環(huán);(Ⅲ)α.(a×b)=(α·-a)×b=a×(α·
2、b),對任意的α∈k,a,b∈A.兩個代數(shù)(A;+,×,.),(A?;o,×,.)稱為同-構(gòu),如果存在A到A?的雙射θ,滿足(Ⅰ)θ(aob)=θ(a)oθ(b);(Ⅱ)θ(a×b)=θ(a)×θθ-(b);(Ⅲ)θ(α.a)=α.θ(a),對任意α∈k,a,b∈A.A與A?同構(gòu),記為AμA?.稱代數(shù)A帶單位元1,如果(A;+,×)是帶單位元1的環(huán).設(shè)V是k上n維線性空間,記Homk(V,V)為V的線性變換的全體,它對于加法(f+g)(v)=f(v)+g(v),乘法(fg)(v)=f(g(v)),數(shù)n×n乘(αf)(v)=αf(v)構(gòu)成k上代數(shù).記k為k上n階矩陣全體,它對于矩陣的加法,乘法
3、,數(shù)乘構(gòu)成k上代數(shù).θn×n命題1Homk(V,V)μk(作為k-代數(shù))證明取定V的基η1,?,ηn,f∈Homk(V,V),設(shè)f在此基下的矩陣為A,即fηηn×n1,?,n=η1,?,ηnA.令θ:fcaA.易見θ導(dǎo)出代數(shù)Homk(V,V)與k之間的同構(gòu)映射.設(shè)A是k上帶單位元1的代數(shù),A上的模AM指的是k-線性空間M與A到M的“數(shù)乘”,滿足:(Ⅰ)(a+b)m=am+bm;(Ⅱ)a(m+n)=am+an;(Ⅲ)1·m=m;(Ⅳ)(ab)m=a(bm);(Ⅴ)α(am)=(αa)m=a(αm),對任意的α∈k,a,b∈A,m,n∈M.例1線性空間V是代數(shù)Homk(V,V)上的模,數(shù)乘定義為
4、fv=f(v),對任意f∈Homknnn×n(V,V),v∈V.設(shè)k是k上n元列向量空間,則k是代數(shù)k上的模,數(shù)乘定義為矩陣的乘法.2廣義模同構(gòu)neθ定義設(shè)A,B是k-代數(shù),且AμB.M是A上的模,N是B上的模.M到N的k-線性映射φθ稱為AM到BN的廣義模同態(tài),如果φθ(am)=θ(a)φθ(m).特別地,當(dāng)φθ是雙射時,X收稿日期:1998-01-08林亞南,男,1957年10月出生,副教授國家教委面向21世紀(jì)數(shù)學(xué)專業(yè)課程設(shè)置與教學(xué)改革項(xiàng)目·34·寧德師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)1998年3月φθφθ稱為AM到BN的廣義模同構(gòu),記為AMμBN,AM和BN稱為廣義同構(gòu)的模.注意到當(dāng)A=B時,上述
5、的φθ即是代數(shù)上的模同態(tài)和模同構(gòu)的定義.所以,廣義模同態(tài)是模同態(tài)的推廣.φθ定理設(shè)V是n維k-線性空間,則有廣義模同構(gòu)n×nnHom(V,V)Vμkk,其中Homk(V,kθn×nV)μk作為k-代數(shù)同構(gòu),如命題1所述.v1證明取定V的基η1,?,ηn.任取v∈V,v在此基下的坐標(biāo)為?,則f(v)在此基下=vnbv1v1的坐標(biāo)為A?.令φθ:vv?,易證φθ是k-線性映射且φθ(fv)=θ(f)φθ(v).vnavn代A?數(shù)由于模的運(yùn)算的性質(zhì)在廣義模同構(gòu)下保持不變,可認(rèn)為廣義同構(gòu)的兩個模本質(zhì)上是一樣的,這樣可將一個模的問題化為另一個模的問題來考慮,擴(kuò)大解題思路.易證下面的命題:φθ命題2設(shè)n
6、×nn(V,V),θ(f)=A∈kn×nHom(V,V)Vμkk是廣義模同構(gòu),f∈Homk,A的列向量kn為A1,?,An,則(1)φθ導(dǎo)出k-線性空間同構(gòu)Kerfμ{X∈k
7、AX=0};(2)φθ導(dǎo)出k-線性空間nn同構(gòu)Imfμ{AX
8、X∈k}=LA1,?,An,這里L(fēng)θA1,?,An表H示k中由A1,?,An生間成的的子空間;(3)dimImf=dimLA1,?,An=秩(A);(4)(dimKerf=n-秩(A).推論設(shè)V是n維k-線性空間,f∈Homk(V,V),則dimKerf+dimImf=n.證明由命題2的(3),(4)即得.3應(yīng)用舉例舉幾例說明在廣義模同構(gòu)的觀點(diǎn)下空間與變換問
9、題和列向量與矩陣問題的互相轉(zhuǎn)化.例2設(shè)A1,?,Am是m個非零的n階矩陣,求證存在n元列向量X,使得AiX≠0,i=1,?,m.證明設(shè)θ(fi)=Ai,i=1,?,m,這里fi∈Homk(V,V).因Ai非零,故fi≠0.以Kerfi≠V,i-=1,?,m.因有限維空間的有限個真子空間不能覆蓋整個空間,故有v∈V,使v∈Kerfi,i=1,?,m.即fi(v)≠0,i=1,?,m.令φθ(v)=X由廣義模同構(gòu)
