拉壓不同模量橫力彎曲梁的算法

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1、第26卷第3期重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2009年6月Vol126NO.3JChongqingTechnolBusinessUniv1(NatSciEd)Jun12009文章編號:1672-058X(2009)03-0233-04拉壓不同模量橫力彎曲梁的算法申加輝(重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,重慶400045)摘要:對于處在平面復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的橫力彎曲梁,當(dāng)引入拉壓不同模量后,結(jié)構(gòu)內(nèi)力計算成為非線性問題;對拉壓不同模量橫力彎曲梁提出計算假定,推導(dǎo)單元中和軸公式并構(gòu)造了算法;通過實例計算對比分析不同模量與經(jīng)典力學(xué)相同模量兩種

2、方法計算結(jié)果的差異,提出對該類結(jié)構(gòu)計算的合理建議以及利用不同模量對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化的結(jié)論.關(guān)鍵詞:拉壓不同模量;橫力彎曲梁;中性軸中圖分類號:TU311文獻標識碼:A1基本概念和假設(shè)在不同模量力學(xué)理論中,假定不同模量材料是均勻的和各向同性的,材料各點的性質(zhì)相同,沒有最優(yōu).但是,由于給定點(或區(qū)域)主應(yīng)力σi(i=1,2,3)符號(由結(jié)構(gòu)和外荷載確定)的不同,卻表現(xiàn)出不同的彈性++--性質(zhì).當(dāng)σi>0時,相應(yīng)的彈性模量和泊松比為E和υ;當(dāng)σi<0時,相應(yīng)的是E和υ.假定所分析的材料在任意應(yīng)力狀態(tài)下只發(fā)生彈性小變形,并服從連續(xù)介

3、質(zhì)力學(xué)的若干規(guī)律,其中包括平衡方程、幾何方程、變形連續(xù)方程等,與相同模量彈性力學(xué)的差別僅表現(xiàn)在應(yīng)力與應(yīng)變之間的物理關(guān)系中.對橫力彎曲梁單元采用平面假定,認為梁單元在彎矩和軸力聯(lián)合作用下,橫截面在變形后仍為平面,且+-與梁軸正交.在選擇不同模量E和E時,取用正應(yīng)力σx的符號,忽略剪應(yīng)力τxy的影響.這比根據(jù)主應(yīng)力σi+-的符號來決定E和E給數(shù)值計算帶來了若干方便.由平面假設(shè)可知,在梁單元的橫截面內(nèi)可能是全拉區(qū)或全壓區(qū);亦可能截面上部是拉壓而下部是壓區(qū),或相反.這是由梁單元各橫截面上的彎矩M和軸力N決定的.當(dāng)在某截面上既有拉

4、區(qū)又有壓區(qū)時,其區(qū)域高度h1和h2是一個重要參數(shù).2不同模量梁單元不同模量梁單元的節(jié)點及其參數(shù)如圖1所示,其軸向位移和撓度分別用零階和一階埃爾米特多項式表示,它們是:u=N1ui+N2uj;υ=N3υi+N4θi+N5υj+N6θj.223323圖1梁單元其中,N1=1-x/l,N2=x/l,N3=1-3x/l+2x/l,N4=x-2x/l+x/222332l,N5=3x/l-2x/l,N6=-x/l+x.收稿日期:2009204216;修回日期:2009205210.作者簡介:申加輝(1984-),男,山東日照人,碩士

5、研究生,從事結(jié)構(gòu)工程研究.234重慶工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)第26卷2dvdμ不同模量梁單元的正應(yīng)變εx由彎曲應(yīng)變和拉、壓應(yīng)變組合,即εx=-2y+,或表示為:dxdxεx=N1′ui-N3″yvi-N4″yθi+N2′uj-N5″yvj-N6″yθj=[N1′-N3″y-N4″y+N2′-N5″y-N6″y]ty4lttv=[B]az0ck5jT式中,lm4jrct=[uivθiiujvθjj],[B]=[N1′-N3″y-N4″y+N2′-N5″y-N6″y].+-根據(jù)應(yīng)變εx的符號和彈性模量E和E的不同,梁單元任意橫截面的正應(yīng)力σx,應(yīng)

6、屬于下列4種情況之一(圖2):圖2應(yīng)力圖+(1)全拉區(qū):εx>0,σx=Eεx,y∈[-h/2,h/2].-(2)全壓區(qū):εx<0,σx=Eεx,y∈[-h/2,h/2].+-(3)拉、壓區(qū)(拉壓區(qū)):εx>0,σx=Eεx,y∈0,h1;εx<0,σx=Eεx,y∈-h2,0.-+(4)壓、拉區(qū)(壓拉區(qū))εx<0,σx=Eεx,y∈0,h1;εx>0,σx=Eεx,y∈-h2,0.不同模量梁單元的剛度矩陣,對拉壓區(qū)分析:l0lh1-T+T[k]=bE∫(∫[B][B]dy)dx+E∫(∫[B][B]dy)dx0-h20

7、0應(yīng)加以注意的是,梁單元各橫截面的應(yīng)力區(qū)的確定(即確定ε′,ε″,h1和h2),依賴于梁的軸力和彎矩,通常它們是x的函數(shù),因此上式中的ε′,ε″,h1和h2對各截面是不同的.為此,把梁單元沿長度分為若干段,視段內(nèi)的內(nèi)力以及h1,h2是常量.于是,上列積分表示為:Mlq0lqh1-T+T[k]=6E∫(b∫[B][B]dy)dx+E∫(b∫[B][B]dy)dx]=n=1lp-h2lp0Mllqq-+6[E∫[Q1]dx+E∫[Q2]dx](1)n=1lplp0h1TT[Q1]=b∫[B][B]dy,Q2=b∫[B][B]

8、dy-h20+-h將式(1)積分,可以得到拉壓不同模量梁單元的剛度矩陣.若將E=E=E;h1=h2=代入剛度矩陣,2可得到熟知的相同彈性模量梁單元的剛度矩陣[k′].3分區(qū)高度h1和h2在不同模量橫力彎曲梁算法中,要求給定或確定梁單元各截面的正應(yīng)力符號及其分區(qū)類型,對拉壓區(qū)和壓拉區(qū)還需計算h1和h2.設(shè)梁單元在某一分