平面向量概念、運算和平面向量基本定理

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1、05—平面向量的概念、運算及平面向量基本定理突破點（一）平面向量的有關(guān)概念知識點：向量、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、相反向量考點平面向量的有關(guān)概念［典例］（1）設(shè)a,〃都是非零向量，下列四個條件中，使備=詩成立的充分條件是（）A?a=-bB?a//hC?a=2hD?allb且圍=

2、洌（2）設(shè)血為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a=

3、?Ho；②若a與心平行，則a=aa（）；③若a與a（）平彳丁且

4、a

5、=l,則a=a（）.假命題的個數(shù)是（）A.0C-2D.3［解析］（1）因為向

6、量備的方向與向量a相同，向量器的方向與向量〃相同，且畚=缶，所以向量a與向量方方向相同，故可排除選項A,B,D?當a=2b時，故a=2〃是詁器成立的充分條件.（2）向量是既有大小又有方向的量，a與閥例）的模相同，但方向不一定相同，故6是假命題；若a與a。平行，則a與血的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a=—0

7、血，故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3?［答案］（1）C⑵D（1）兩個向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大?。唬?）大小與方向是向量的兩個要素,分別是向

8、量的代數(shù)特征與幾何特征；（3）向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上.突破點（二）平面向量的線性運算1.向量的線性運算：加法、減法、數(shù)乘2.平面向量共線定理：向量〃與aSHO）共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)2,使得b=皿考點一平面向量的線性運算［例1］⑴在△ABC中，AB=c,AC=b.若點D滿足BD=2DC,則AD=()12(2)在中，N是4C邊上一點且AN=qNC,P是BN上一點,AP=mABAC9則實數(shù)加的值是?22［解析］(1)由題可知BC=AC—AB=b—c,TBD=2DC,；

9、?BD=jBC=)(b—c),則AD=221AB+BD=c+§(〃一c)=s〃+3c,故選D?ii2(2)如圖，因為AN=2NC,所以AN=^AC,所以AP=mAB+^AC=inAB+^AN.因為B,P9N三點、共線,所以m+j=l,則加=￡?［答案］(DD(2)

10、［方法技巧］_1?平面向量的線性運算技巧：⑴不含圖形的情況：可直接運用相應(yīng)運算法則求解.（2）含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解.2.利用平面向量的

11、線性運算求參數(shù)的一般思路：（1）沒有圖形的準確作出圖形，確定每一個點的位置.（2）利用平行四邊形法則或三角形法則進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式.（3）比較，觀察可知所求.考點二平面向量共線定理的應(yīng)用［例2］設(shè)兩個非零向量a和方不共線.（1）若BC=2a+8b,CD=3（a~b）.求證：A,B,D三點共線.（2）試確定實數(shù)乩使如+b和a+kb共線.［解］(1)證明：因為AB=a+bfBC=2a+8b,CD=3(a-b)f所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,所以ABt共線.又

12、4〃與BD有公共點B,所以A,B,D三點共線.(2)因為ka+b與a+kb共線，所以存在實數(shù)2,使ka+b=A(a+kb)9k=入,即

13、解得比=±1?即k=l或一1時，ka+b與a+kb共線.〔1=弘，［方法技巧］平面向量共線定理的三個應(yīng)用(1)證明向量共線：對于非零向量°,伉若存在實數(shù)兒使a=肋，則a與b共線.(2)證明三點共線：若存在實數(shù)幾使AB=xACfAB與AC有公共點A,則a,b,c三點共線.(3)求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.［提醒］證明三點共線時，需說明

14、共線的兩向量有公共點.突破點(三)平面向量基本定理平面向量基本定理：如果S，的是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)入,必，使a=2曲+總2?其中，不共線的向量S，血叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.考點一底的概念［例1］如果S，￡2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A.勺與01+^2B.勺一2^2與01+2^2C.勺+侖2與勺―02D.01+3^2與6^2+2?［=2,(1=2,［解析］選項A中，設(shè)s+e2=

15、2s,則

16、無解；選項B中，設(shè)e1—2e2=2(ei+2e2),則

17、1=01—2=22無解；選項C中，設(shè)01+02=2(?—02),則無解；選項D中，01+302=3(602+2?),所以兩向量是共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底.［答案］D［易錯提醒］某平面內(nèi)所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，不能含有零向量.考點二平面向量基本定理的應(yīng)用［例2］(2016-江西南昌二模妝口圖，在厶ABC中，設(shè)AB=atAC=b9