淺析復(fù)函數(shù)實(shí)函數(shù)類同差異

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1、.淺析復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)的類同與差異夏青數(shù)學(xué)112班11101231號(hào)摘要復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)貫穿在我們高中和大學(xué)的數(shù)學(xué)之中，我們通過(guò)學(xué)習(xí)了解了部分實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。我認(rèn)為復(fù)函數(shù)是實(shí)函數(shù)的后繼與延伸，二者在某些概念、結(jié)論上既有區(qū)別，又有著深刻的聯(lián)系，因此為了更加清楚、明確二者的概念、結(jié)論的相同與相異之處，本文做了一點(diǎn)簡(jiǎn)單說(shuō)明。正文在中學(xué)我們主要學(xué)習(xí)了實(shí)函數(shù)，大學(xué)期間，我們又更加深入地學(xué)習(xí)研究了實(shí)函數(shù)，與此同時(shí)也進(jìn)行了復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)。在實(shí)函數(shù)與復(fù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中中，我發(fā)現(xiàn)二者有許多相似之處，并且在許多命題、性質(zhì)中是可以相互推證，彼此呼應(yīng)的。所以在研究復(fù)函數(shù)中的命題時(shí)，會(huì)想到從實(shí)函數(shù)中尋

2、找可以借鑒的東西，但是畢竟二者之間有區(qū)別，有時(shí)并不能完全照搬照抄，有的甚至有本質(zhì)的差別。復(fù)變函數(shù)論中的柯西—黎曼方程、柯西積分定理、解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式和斂散性、解析函數(shù)的泰勒展式與洛朗展式、留數(shù)定理等，它們與我們經(jīng)常使用的實(shí)函數(shù)有一定的關(guān)系，其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)也能運(yùn)用在實(shí)函數(shù)的解題上，下面我們將從幾個(gè)方面來(lái)探究其在實(shí)函數(shù)上的應(yīng)用。1.在解決形如的實(shí)函數(shù)的不定積分時(shí)，我們往往采用的是分部積分法，其過(guò)程往往復(fù)雜且容易出錯(cuò)，但是通過(guò)我們學(xué)習(xí)過(guò)的復(fù)積分能方便的解決這些問(wèn)題。我們已知，我們能不能通過(guò)構(gòu)造一個(gè)復(fù)積分的問(wèn)題來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。例1：計(jì)算積分此時(shí)我們可以添加一個(gè)輔助函數(shù)=...==

3、=+====此時(shí)=由此可以看出復(fù)函數(shù)積分可以快速解決形如的問(wèn)題，但是其解決的問(wèn)題只是我們常見(jiàn)問(wèn)題中的很小一部分，我們常見(jiàn)的積分不只是這種情況，更多的是型如：，我們也可以借助復(fù)變的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題。例2：計(jì)算積分解法1我們利用實(shí)函數(shù)的分部積分方法來(lái)解決問(wèn)題。解法2令此時(shí)我們得到...此時(shí)我們可以知道我們對(duì)于運(yùn)用分部積分，可以輕松的得到，。是在極少某種特殊情況下的看到的，我們經(jīng)?？吹降氖切稳纾槿我怆A常數(shù)），我們也可以應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)解決此類問(wèn)題，我們可以得出對(duì)于任意的形如，（為任意階實(shí)函數(shù)），我們可以輕松利用復(fù)變函數(shù)知識(shí)得出。2.利用復(fù)變函數(shù)求定積分我們已知那么是否在復(fù)函數(shù)

4、也適用。下面我們看看一些特殊情況，我們?nèi)?時(shí)，我們可以看出-=-，然而，顯然，在復(fù)函數(shù)情況下也能成立。...下面我們來(lái)看例3：我們知道=，取，使，考慮函數(shù)沿由，半圓弧及半圓弧的反向所組成的閉曲線C的積分。根據(jù)柯西積分定理得，即（1）由引理1知由引理2知：在式（1）中令取得極限所以==3.復(fù)函數(shù)在求不等式中的應(yīng)用在復(fù)平面上，我們知道其上的亦遵守平面直角坐標(biāo)系的一些規(guī)律，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)我們經(jīng)常利用向量解決一些不等式，那么復(fù)函數(shù)也能夠應(yīng)用在解不等式上面。我們已經(jīng)知道。例4：求證不等式證明：令；...:我們知道復(fù)數(shù)模有例5：證明不等式證明：我們利用復(fù)函數(shù)知識(shí)來(lái)求這道題，設(shè)；，例6：設(shè)，

5、，為非負(fù)實(shí)數(shù)，證明證明：設(shè)，，為非負(fù)實(shí)數(shù)因?yàn)?=例7：設(shè)為小于1的正數(shù)，證明...證明：設(shè)，其中，。則=通過(guò)上面的三部分的應(yīng)用，我們可以通過(guò)復(fù)函數(shù)的知識(shí)讓我們更加方便的解決我們所求得實(shí)函數(shù)，這是它們的類同之處。但是，復(fù)函數(shù)與實(shí)函數(shù)也有很大的差異。首先，它們的研究范圍不同。顧名思義，復(fù)函數(shù)就是以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)。實(shí)函數(shù)就是以實(shí)教為自變量的函數(shù)，因此要認(rèn)清復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別。實(shí)數(shù)可以比較大小，而復(fù)數(shù)不可以。復(fù)數(shù)可以像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行和差積商的運(yùn)算，只是在運(yùn)算過(guò)程中有了新的規(guī)律，要利用復(fù)數(shù)模的知識(shí)。因此使得復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算(包括乘冪與方根)有了更快捷的形式，并且有了更優(yōu)美的性質(zhì)。復(fù)函數(shù)的

6、極限、連續(xù)和微分在形式上雖然與實(shí)函數(shù)中相對(duì)應(yīng)的概念模仿，但卻有本質(zhì)的差別，而這些差別正是復(fù)函數(shù)引進(jìn)解析函數(shù)概念以及討論解析函數(shù)的基礎(chǔ)。下面我們從微分中值定理、解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性、解析函數(shù)的無(wú)窮可微性這三個(gè)方面來(lái)討論它們的區(qū)別和差異。1.微分中值定理微分中值定理是微分學(xué)的重要內(nèi)容之一，其表現(xiàn)形式常用的有Rolle中值定理及Lagrange中值定理，隨著數(shù)域的擴(kuò)充，微分中值定理在復(fù)數(shù)域中不成立。例8:設(shè)w=f(z)=e，函數(shù)f(z)在z平面處處解析，且e具有周期性，2kπi，k∈Z是其周期。當(dāng)給定閉區(qū)域，z1，z2∈D且z1≠z2，容易滿足e1=e2，但(e)'=e≠0。故Ro

7、lle中值定理在復(fù)數(shù)域C上不成立。例9:設(shè)f(z)=z3，取閉區(qū)域={Z│Rez≥}，取z1=(1+)，z2=(1－)，計(jì)算=0，而f'(z)=3z3=0在區(qū)域D內(nèi)無(wú)解。故Lagrange中值定理在C上不成立。...2.解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性區(qū)域D內(nèi)處處可微的復(fù)變函數(shù)稱為區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)。在《復(fù)變函數(shù)論》中，解析函數(shù)的零點(diǎn)總是孤立的。而實(shí)變函數(shù)體現(xiàn)出的性質(zhì)截然相反。例10:設(shè)w=f(z)=z2(e－1)，它的全部零點(diǎn)為z=0，zk=(2k+1)πi，k∈Z。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于f(z)的每一個(gè)零點(diǎn)，都存在其零