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1、第五章排列組合與概率初步一、兩個(gè)基本原理思考：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1十m2十…十mn種不同的方法．思考：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條．從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不
2、同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1m2…mn種不同的方法．例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書．（1）從中任取一本，有多少種不同的取法？（2）從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？（1）6+5（2）6×5例2(1)由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)三位數(shù)？(2)由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？5(3)由數(shù)字0，l，2，3，4，5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？（1）53=125（2）5×4×3=60（3）5×5×4=10011例3從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可
3、走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走．（1）從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？（2）從甲地到丙地共有多少種不同的走法？（1）2×3=6（2）2×3+2=8二、排列與排列數(shù)公式1、排列從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素（被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。如果元素和順序至少有一個(gè)不同。則叫做不同的排列。元素和順序都相同的排列則叫做相同的排列。練習(xí)：由數(shù)字1、2、3可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)？2、排列數(shù)公式從n個(gè)不同元素中，任取m()個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號（或）表示.排列數(shù)公式：=
4、n(n－1)(n－2)…(n－m+1)全排列：=n(n－1)(n－2)…1=n！規(guī)定：0！=1練習(xí)：=；=；=例1：（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：問題可以看作：7個(gè)元素的全排列——＝5040（2）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？11解：（優(yōu)先法）甲“優(yōu)先排好”，問題可以看作：余下的6個(gè)元素的全排列——=720（3）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：（優(yōu)先法）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步甲、乙站在兩端有種；第二步余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有種，則共有=240種排列方法（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種
5、？解：（捆綁法）先將甲、乙兩位同學(xué)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素與其余的5個(gè)元素（同學(xué)）一起進(jìn)行全排列有種方法；再將甲、乙兩個(gè)同學(xué)“松綁”進(jìn)行排列有種方法．所以這樣的排法一共有＝1440種．（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？解法一：（排除法）解法二：（插空法）題目要求甲和乙兩個(gè)人必須隔開。首先將其余5個(gè)人排列，有種排法，則這5個(gè)人中間"和兩端共有6個(gè)空位置，是：︺□︺□︺□︺□︺□︺，此時(shí)可將甲、乙兩人“插空”到6個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有種插法。由乘法原理，共有=3600種排隊(duì)方法。（6）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？解法一（直接法）
6、：第一步，從（除去甲、乙）其余的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有種方法；第二步，從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列（全排列）有種方法，所以一共有=2400種排列方法。解法二：（排除法）若甲站在排頭有種方法；若乙站在排尾有種方法；若甲站在排頭，且乙站在排尾則有11種方法。所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有－＋=2400種。三、組合與組合數(shù)公式1、組合從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．注：1．不同元素2．“只取不排”——無序性3．相同組合：元素相同練習(xí)：判斷下列問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題：⑴從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出
7、2個(gè)進(jìn)行游覽；（組合）⑵從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記．（排列）2．組合數(shù)公式從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號表示．例如：從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙，甲丙，乙丙．即有種組合．又如：從A、B、C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6種組合，即：規(guī)定練習(xí)：⑴⑵(3)
