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1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用按Logistic規(guī)律建立兩種群依存模型摘要：自然界中處于同一環(huán)境下的兩個種群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，在兩種群共生依存的條件下又可以將其分為三類。例如，人類與植物二者可以獨(dú)立生存，當(dāng)兩者在一起是可以促進(jìn)增長。植物可以獨(dú)立生存，但昆蟲的受粉作用又可以提高植物的增長率，而昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活。豆科植物和根瘤菌都不能獨(dú)立生存，只有在一起才能共生。豆科植物供給根瘤菌碳水化合物，根瘤菌供給植物氮素養(yǎng)料，從而形成互利共生關(guān)系。通過分析以上三種關(guān)系，按logistic增長規(guī)律分別建立相應(yīng)的模型，分析其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，并
2、運(yùn)用matlab軟件作數(shù)值解及圖形，驗(yàn)證平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的結(jié)論。關(guān)鍵詞：相互依存三種關(guān)系logistic模型平衡點(diǎn)穩(wěn)定性文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用一、問題提出：自然界中的兩種群存在關(guān)系有相互競爭、相互依存、食餌捕食。其中相互依存又包括：甲乙均可獨(dú)立生存，在一起時相互促進(jìn)；甲可以獨(dú)立生存而乙不可以獨(dú)立生存在一起相互促進(jìn)增長；甲乙都不可以獨(dú)立生存，在一起相互促進(jìn)增長。按照Logistic規(guī)律建立兩種群相互依存的三種模型。二、模型假設(shè)1.假設(shè)第一類情況為甲乙均可獨(dú)立生存，在一起時相互促進(jìn)；2.假設(shè)第二類情況為甲可以獨(dú)立生存而乙不可以獨(dú)立生存在一起
3、相互促進(jìn)增長；3.假設(shè)第三類情況為甲乙都不可以獨(dú)立生存，在一起相互促進(jìn)增長；4.種群數(shù)量的演變遵從Logistic規(guī)律。三、符號說明——甲種群在t時刻的數(shù)量；——乙種群在t時刻的數(shù)量；——環(huán)境資源容許甲種群的最大數(shù)量；——環(huán)境資源容許乙種群的最大數(shù)量；——甲種群的固有增長率；——乙種群的固有增長率；——單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍；——單位數(shù)量乙提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲消耗的供養(yǎng)甲食物量的倍；三、模型建立4.1模型一：甲乙均可獨(dú)立生存，在一起時相互促進(jìn)。甲可以單獨(dú)生存，按照logis
4、tic增長規(guī)律種群甲的演變數(shù)量規(guī)律可以寫作（1）文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用其中，－表示甲種群自生的阻滯作用。由于乙種群的存在對甲種群的增長起到了促進(jìn)作用，所以方程(1)可改進(jìn)為：（2）其中，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供資源。種群乙可以獨(dú)立生存，所以乙的增長規(guī)律類似種群甲，即為：（3）綜合方程（2）、（3）可得第一類情況的模型：4.2模型二：甲可以獨(dú)立生存而乙不可以獨(dú)立生存在一起相互促進(jìn)增長。在模型一的基礎(chǔ)上我們可以知道對于種群甲的生長規(guī)律為：（2）而對于種群乙就有所不同，種群乙沒有甲的存在會死亡，則乙單獨(dú)存活時有：（4）甲為乙提供
5、食物，于是（4）右端應(yīng)該加上甲對乙的增長的促進(jìn)作用，有（5）顯然僅當(dāng)時種群乙的數(shù)量才會增長。與此同時乙的增長又會受到自身的阻滯作用，所以（5）右端還應(yīng)加上logistic項，方程變?yōu)椋?）綜合方程（2）、（6）可得第二類情況的模型：文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用4.3模型三：甲乙都不可以獨(dú)立生存，在一起相互促進(jìn)增長。在模型二的基礎(chǔ)上我們已知對于乙種群模型仍為：（6）種群甲不能單獨(dú)生存，則甲單獨(dú)生存時有：（7）乙為甲提供食物，于是（7）右端應(yīng)該加上乙對甲的增長的促進(jìn)作用，有（8）顯然僅當(dāng)時種群甲的數(shù)量才會增長。與此同時甲的增長又會受到自身的阻
6、滯作用，所以（8）右端還應(yīng)加上logistic項，方程變?yōu)椋?）綜合方程（6）、（9）可得第三類情況的模型：五、模型求解及分析我們求解模型方程的平衡點(diǎn)，并討論其穩(wěn)定性，從而對兩種群的變化趨勢作出判斷。為此，給出求解平衡點(diǎn)的方法：記：（1）（2）文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用并且，令：求解即可得到平衡點(diǎn)。對于平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析方法如下：將平衡點(diǎn)代入矩陣A中，記p等于矩陣A主對角線元素之和的相反數(shù)；p為行列式的值。穩(wěn)定的條件：。5.1求解模型一根據(jù)以上方法，令：求解出模型一的平衡點(diǎn)為：進(jìn)而檢驗(yàn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：記=將平衡點(diǎn)代入可得以下平衡點(diǎn)的穩(wěn)定
7、性表：平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定不穩(wěn)定不穩(wěn)定5.1.1用matlab軟件作出模型一的數(shù)值模擬如下：文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用數(shù)值解的圖形相軌線圖由以上可知，由于，所以都不穩(wěn)定，只有在的情況下，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。此時甲、乙兩種群將分別趨向于非零的有限值；否則由于二者均能獨(dú)立生存又相互提供食物，將使二者均趨向無窮。MATLABL代碼詳見附錄一。5.2求解模型二：按照平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性的求法文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用令：可得穩(wěn)定點(diǎn)為：進(jìn)而檢驗(yàn)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：=將平衡點(diǎn)代入可得模型二的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性表：平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定對于不符合實(shí)際情況，所以不加以討論。5.2.1
8、用matlab軟件作出模型二的數(shù)值模擬如下：文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用數(shù)值解的圖形相軌線圖上圖為平衡點(diǎn)滿足時的圖形。表明甲種群可以獨(dú)立生存，乙種群為甲提供食物使甲增長的速度提高，但是由于受到自身的阻滯作用甲始終趨于一個極限值。而乙種群不能獨(dú)立生存，雖然甲會促進(jìn)乙生存，但是幅度較小，當(dāng)甲
