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《4.3共軛算子與一、五線性泛函.pdf》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、第21講共軛算子與一、五線性泛函教學(xué)目的：掌握Hilbert空間上幾類常用算子的性質(zhì)。講解要點：1Hilbert空間上線性泛函與線性算子的表現(xiàn)定理。2自伴算子的基本性質(zhì)。3酉算子與正常算子的概念與屬性。定理1(Riesz表現(xiàn)定理)設(shè)H是Hilbert空間.(1)?yH∈,f(x)=(x,y)是H上的連續(xù)線性泛函并且f=y.(4-3-1)(2)若f是H上的連續(xù)線性泛函,則存在唯一的y∈H使得f(x)=(x,y),?x∈H(4-3-2)a證明1設(shè)x,x∈H,α,β∈Φ,則12f(αx+βx)=(αx+
2、βx,y)1212=α(x,y)+β(x,y)=αf(x)+βf(x).1212f是線性的.又由不等式f(x)=(x,y)≤xy,f≤y,f連續(xù).若y=0,顯然f=0=y.若y≠0,取x=y,則f()y=(y,y)2y=y,故f≥f()=y.總之,f=y.ya2若f=0,取y=0即可.若f≠0,設(shè)E=N(f),E是H⊥⊥⊥的閉極大真子空間,設(shè)H=E⊕E,E≠{0}.取z∈E,z=1,1⊥f(x)則f(z)≠0,令y=f(z)z,y∈E.由于?x∈H,x?z∈E,于f(z)是f(x)0=(x?z,y
3、)f(z)f()x=(x,y)?(z,f(z)z)f()z=(x,y)?f(x)(z,z)=(x,y)?f(x)a即f(x)=(x,y),?x∈H,由1還知道f=y.若另有yH'∈使得f(x)=(,')xy,?x∈H,則(x,y)=(,')xy,?x∈H,即(,xyy?=')0,此時必有yy='.稱定理1中的y為線性泛函f的表現(xiàn).*記H上的連續(xù)線性泛函全體為H,定理1表明從集合論的觀點*來看,H與H是相同的.*定理2設(shè)H是Hilbert空間,H是H的共軛空間.*(1)若映射T:H→H,Tf=y,其
4、中y是f的表現(xiàn).則*T(αf+βf)=αT(f)+βT(f),?f,f∈H,(4-3-2)121212*T是到上的并且?∈fH,Tf=f.*(2)(Tf,Tg)=(,)fg,?f,g∈H.(4-3-3)1**(3)若J是從H到H的自然嵌入算子,J是到上的線性映射并且Jx=x,?x∈H.通常稱滿足(4-3-2)的T是共軛線性的.a證明1設(shè)Tf=y,Tf=y,α,β∈Φ,則?x∈H,11222f(x)=(x,y),f(x)=(x,y).于是1122(αf+βf)(x)=αf(x)+βf(x)1212=
5、α(x,y)+β(x,y)=(x,αy+βy).1212即T(αf+βf)=αy+βy=αT(f)+βT(f).由定理1知道T是到上121212*的并且Tf=y=f,?∈fH.a2由T(f+g)=f+g,T(f?g)=f?g,則122Re(Tf,Tg)=[T(f+g)?T(f?g)]4122=[f+g?f?g]=Re(f,g).4將f換為if,則Re(Tif,Tg)=Re(if,g).又由T的共軛線性(Tf,Tg)=i(Tif,Tg).所以Im(Tf,Tg)=Re(Tif,Tg)=Re(if,g)
6、=?Im(f,g).從而*(Tf,Tg)=(f,g),?f,g∈H.a**3設(shè)J是從H到H的自然嵌入算子,則?x∈H,*Jx(y)=y(x),?y∈H.若x,x∈H,α,β∈Φ,則12J(αx+βx)(y)=y(αx+βx)1212=αy(x)+βy(x)=αJx(y)+βJx(y)1212=(αJx+βJx)(y)12y是任意的.故J(αx+βx)＝αJx+βJx。1212??????????∈xH，由定理1，存在y∈H，使得x(f)=(f,y),3*???a?a?f∈H并且x=y。若T是1中的
7、映射，不妨設(shè)Ty=x，由2，????x(f)=(f,y)＝(Ty,Tf)=f(x).??故Jx=x。J是到上的并且????Jx=x＝y(tǒng)＝Ty＝x.定理得證.?這里注意T:H→H是共軛線性的但不是線性的.因此按照線??性同構(gòu)的觀點來看，當(dāng)Φ是復(fù)空間時，H≠H.盡管H與H之間存在一一的到上的映射.另一方面，定理2（3）與我們關(guān)于一致凸空間的結(jié)論是一致的，即Hilbert空間是自反空間，從而Hilbert空間的閉單位球是ω緊的等等.定義1設(shè)H是Hilbert空間,，?:H×H→Φ是一映射.(1)稱?是一
8、、五線性的，若?x,y,z∈H，α,β∈Φ，?(αx+βy,z)＝α?(x,z)＋β?(y,z)?(x,αy+βz)＝α?(x,y)＋β?(x,z).（4-3-5）(2)稱?是對稱（或Hermite）的，若?(x,y)＝?(y,x).(3)稱?是有界的，若存在C>0，
9、?(x,y)
10、≤Cx?y，?x,y∈H.此時記其范數(shù)為??=≤sup{
11、(,)
12、:xyx1,y≤1}.（4-3-5）下面定理可以看成有界一、五線性泛函的表現(xiàn)定理.定理3設(shè)H是Hilbert空間,則?:H×H→Φ是有界
