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1、初中數學解題方法之旋轉【摘要】初中圖形變換包含平移、翻折和旋轉，我們要通過實驗、操作、觀察和想象的方法掌握運動的本質,在圖形的運動中找到不變量，然后解決問題.【關鍵詞】解題方法；幾何變換；旋轉在幾何解題中，旋轉的作用是使原有圖形的性質得以保持，但改變其位置，使其轉化成新的有利于我們論證的幾何圖形.一、三角形角度問題（旋轉構成直角三角形）例1如圖1,點0是等邊三角形ABC內一點，0A二3,0B=4,0C=5,試證明以下結論：ZAOB=150°.分析這里待證結論與題目的已知條件看似風馬牛不相及，但是已知條件特征明確，有
2、等邊三角形，即可以產生60°的角，而OA=3,OB=4,OC=5的線段雖沒法直接運用,但是很容易使人聯(lián)想到勾股數，因此如果能將其放到某一個三角形中，便可以應用勾股定理逆定理得到90。的直角，再看結論，恰好是要證明的150。角，正好是60°與90°之和,如果突破這里，問題便迎刃而解了.解將線段BO繞點B逆時針旋轉60°到:BD的位置（如圖2）（或將△BC0繞點B逆時針旋轉至ABAD的位置，使得BC與BA重合），則Z0BD=ZCBA=60°,且AD=0C=5,從而得ABOD為邊長是3的等邊三角形，0D=4且ZBOD二6
3、0°.而在AAOD中，由勾股定理逆定理得AAOD為直角三角形，且ZA0D=90°,從而ZAOB=ZAOD+ZBOD=150°.小結這是一個關于旋轉的典型題目，較好地體現了圖形在旋轉動態(tài)過程中對應邊、對應角不變的性質，結合圖形的幾何特征，融合勾股定理逆定理、等邊三角形等性質，對提升學生幾何思維，經由發(fā)現問題、分析問題、綜合應用數學知識來解決問題的過程，較好地鍛煉和提升了學生的數學素養(yǎng).二、面積問題（旋轉面積之和）分析AAOB中只知道OA,0B兩條邊，求它的面積就需要求出其中某個邊上的高，由例1我們知道ZA0B=150
4、°,延長A0,過點B作EE丄A0延長線于點E,則RtABOE中，0B=4,ZBOE=30°,由三角函數可以求得BE的長，從而AAOB的面積可求?用同樣的方法能否求得AAOC的面積呢？請讀者一試.下面我們利用旋轉構造新的圖形來求.小結這里所求的是一個凹四邊形的面積，可將其分割開來求，由前面方法的鋪墊，AAOB的面積易求，但是AAOC的面積就顯得不是很容易求得，通過旋轉后，將待求的四邊形轉化為常規(guī)幾何圖形，化繁為易，值得推敲.三、證明線段的和差關系（截長或補短問題）例3探究問題：（1）方法感悟：如圖5,在正方形ABCD
5、中，點E,F分別為DC,BC邊上的點，且滿足ZEAF二45°,連接EF,求證：DE+BF二EF.感悟解題方法，并完成下列填空：將AADE繞點A順時針旋轉90。得到△ABG,此時AB與AD重合，由旋轉可得：AB=AD,BG二DE,Zl=Z2,ZABG=ZD=90°,???ZABG+ZABF二90°+90°二180°,因此，點G,B,F在同一條直線上.TZEAF二45。，?IZ2+Z3=ZBAD—ZEAF=90°—45°=45°.TZl=Z2,???Zl+Z3=45°?即ZGAF二.又AG=AE,AF=AF,/.AGA
6、F^????二EF,故DE+BF二EF.(2)方法遷移：(答案：DE+BF=EF.)(3)問題拓展：小結線段和差的轉化是依據圖形的特征，應用旋轉的方法達到目的，該類型的題目需要利用旋轉解決，特別注意旋轉以后必須要證共線，想想為什么.由于題目具有很強的幾何特征，比如有相等的邊、互補的角等，同時依據旋轉后圖形的固有性質不變，牢牢把握這類性質是解決此類題目的關鍵.四、正方形中的周長定值問題例4如圖8,在平面直角坐標系中，等腰三角形AOB的頂點在第一象限，底邊0B在x軸的正半軸上，且0A=AB=10厘米，0B=12厘米，動
7、點C從點A出發(fā)，沿A0邊向點0運動（點C不與點0重合），運動速度為1厘米/秒，運動時間為t秒.過點C作CD〃0B交AE于點D,以CD為邊，在點A的下方作正方形CDEF（如圖8）.（1）當t為何值時，EF在0B±?（2）當邊EF在0B邊上時（如圖9）,連接正方形CDEF的對角線CE,將ZDCE繞點C按順時針方向旋轉（0。小結在動態(tài)過程中，結合圖形的位置是不斷發(fā)生變化的，但是作為圖形的一種整體運動，實質上保持了圖形本身的內在屬性，邊相等，或角相等，或邊角都相等，或邊角同時都以某種規(guī)律增大或減小，而其相對性質保持穩(wěn)定，這
8、時候我們便可以借助這些屬性加以求解.此題巧妙地借助旋轉，利用轉化思想及截長補短的方法，證明了圖形在動態(tài)過程中的某些屬性的不變性.五、存在性問題分析AFFG作為一個整體元素進行旋轉，在旋轉過程中EG所在直線與射線AD、射線FB有交點，這里首先需要弄清楚在旋轉的初始位置時，點G和點E在哪，與要求的射線AD、射線FB又有怎樣的位置關系?這里通過計算可以得到剛開始旋
