初等數(shù)論總復(fù)習(xí)資料及試題

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1、初等數(shù)論學(xué)習(xí)總結(jié)　　本課程只介紹初等數(shù)論的的基本內(nèi)容。由于初等數(shù)論的基本知識(shí)和技巧與中學(xué)數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系，因此初等數(shù)論對(duì)于中學(xué)的數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)系(特別是師范院校)的本科生來(lái)說(shuō)，是一門有著重要意義的課程，在可能情況下學(xué)習(xí)數(shù)論的一些基礎(chǔ)內(nèi)容是有益的．一方面通過(guò)這些內(nèi)容可加深對(duì)數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解某些他鄰近學(xué)科，另一方面，也許更重要的是可以加強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，這些訓(xùn)練在很多方面都是有益的．正因?yàn)槿绱耍S多高等院校，特別是高等師范院校，都開(kāi)設(shè)了數(shù)論課程。最后，給大家提一點(diǎn)數(shù)論的學(xué)習(xí)方法，即一定不能忽略習(xí)題的作用，通過(guò)做

2、習(xí)題來(lái)理解數(shù)論的方法和技巧，華羅庚教授曾經(jīng)說(shuō)過(guò)如果學(xué)習(xí)數(shù)論時(shí)只注意到它的內(nèi)容而忽略習(xí)題的作用，則相當(dāng)于只身來(lái)到寶庫(kù)而空手返回而異。數(shù)論有豐富的知識(shí)和悠久的歷史，作為數(shù)論的學(xué)習(xí)者，應(yīng)該懂得一點(diǎn)數(shù)論的常識(shí)，為此在輔導(dǎo)材料的最后給大家介紹數(shù)論中著名的“哥德巴赫猜想”和費(fèi)馬大定理的閱讀材料。初等數(shù)論自學(xué)安排　第一章：整數(shù)的可除性（6學(xué)時(shí)）自學(xué)18學(xué)時(shí)　　　整除的定義、帶余數(shù)除法　　　最大公因數(shù)和輾轉(zhuǎn)相除法　　　整除的進(jìn)一步性質(zhì)和最小公倍數(shù)　　　素?cái)?shù)、算術(shù)基本定理　　　[x]和{x}的性質(zhì)及其在數(shù)論中的應(yīng)用　　　習(xí)題要求：2，3；

3、：4；：1；：1，2，5；：1。　第二章：不定方程（4學(xué)時(shí)）自學(xué)12學(xué)時(shí)　　　二元一次不定方程　　　多元一次不定方程　　　勾股數(shù)　　　費(fèi)爾馬大定理?！　　×?xí)題要求：1，2，4；：2，3?！〉谌拢和啵?學(xué)時(shí)）自學(xué)12學(xué)時(shí)　　　同余的定義、性質(zhì)　　　剩余類和完全剩余系　　　歐拉函數(shù)、簡(jiǎn)化剩余系　　　歐拉定理、費(fèi)爾馬小定理及在循環(huán)小數(shù)中的應(yīng)用　　　習(xí)題要求：2，6；：1；：2，3；1，2?！〉谒恼拢和嗍剑ǚ匠蹋?學(xué)時(shí)）自學(xué)12學(xué)時(shí)　　　同余方程概念　　　孫子定理　　　高次同余方程的解數(shù)和解法　　　素?cái)?shù)模的同余方程　　　

4、威爾遜定理。　　　習(xí)題要求：1；：1，2；：1，2?！〉谖逭拢憾瓮嗍胶推椒绞Ｓ啵?學(xué)時(shí)）自學(xué)12學(xué)時(shí)　　　二次同余式　　　單素?cái)?shù)的平方剩余與平方非剩余　　　勒讓德符號(hào)　　　二次互反律　　　雅可比符號(hào)、　　　素?cái)?shù)模同余方程的解法　　　習(xí)題要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1?！〉谝徽拢涸c指標(biāo)（2學(xué)時(shí)）自學(xué)8學(xué)時(shí)　　　指數(shù)的定義及基本性質(zhì)　　　原根存在的條件　　　指標(biāo)及n次乘余　　　模2及合數(shù)模指標(biāo)組、　　　特征函數(shù)　　　習(xí)題要求：3。第一章整除一、主要內(nèi)容　　整除的定義、帶余除法定理、余數(shù)、最大公因數(shù)、最小

5、公倍數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法、互素、兩兩互素、素?cái)?shù)、合數(shù)、算術(shù)基本定理、Eratosthesen篩法、[x]和{x}的性質(zhì)、n！的標(biāo)準(zhǔn)分解式。二、基本要求　通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，能了解引進(jìn)整除概念的意義，熟練掌握整除整除的定義以及它的基本性質(zhì)，并能應(yīng)用這些性質(zhì)，了解解決整除問(wèn)題的若干方法，熟練掌握本章中二個(gè)著名的定理：帶余除法定理和算術(shù)基本定理。認(rèn)真體會(huì)求二個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的求法的理論依據(jù)，掌握素?cái)?shù)的定義以及證明素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的方法。能熟練求出二個(gè)整數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，掌握高斯函數(shù)[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用。三、重點(diǎn)和難點(diǎn)（1）素?cái)?shù)以

6、及它有關(guān)的性質(zhì)，判別正整數(shù)a為素?cái)?shù)的方法，算術(shù)基本定理及其應(yīng)用。（2）素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)的證明方法。（3）整除性問(wèn)題的若干解決方法。（4）[x]的性質(zhì)及其應(yīng)用，n！的標(biāo)準(zhǔn)分解式。四、自學(xué)指導(dǎo)　　整除是初等數(shù)論中最基本的概念之一，b∣a的意思是存在一個(gè)整數(shù)q，使得等式a=bq成立。因此這一標(biāo)準(zhǔn)作為我們討論整除性質(zhì)的基礎(chǔ)。也為我們提供了解決整除問(wèn)題的方法。即當(dāng)我們無(wú)法用整除語(yǔ)言來(lái)敘述或討論整除問(wèn)題時(shí)，可以將其轉(zhuǎn)化為我們很熟悉的等號(hào)問(wèn)題?！　?duì)于整除的若干性質(zhì)，最主要的性質(zhì)為傳遞性和線性組合性，即（1）a∣b,b∣c,則有a∣c（

7、2）a∣b,a∣c,則有a∣mb+nc　　讀者要熟練掌握并能靈活應(yīng)用。特別要注意，數(shù)論的研究對(duì)象是整數(shù)集合，比小學(xué)數(shù)學(xué)中非負(fù)整數(shù)集合要大?！　”菊轮凶钪匾亩ɡ碇粸閹в喑ǘɡ恚礊樵O(shè)a是整數(shù)，b是非零整數(shù)，則存在兩個(gè)整數(shù)q，r，使得　　a=bq+r（0）　　它可以重作是整除的推廣。同時(shí)也可以用帶余除法定理來(lái)定義整除性，（即當(dāng)余數(shù)r=0時(shí)）。帶余除法可以將全體整數(shù)進(jìn)行分類，從而可將無(wú)限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限的問(wèn)題。這是一種很重要的思想方法，它為我們解決整除問(wèn)題提供了又一條常用的方法。同時(shí)也為我們建立同余理論建立了基礎(chǔ)。讀者應(yīng)

8、熟知常用的分類方法，例如把整數(shù)可分成奇數(shù)和偶數(shù)，特別對(duì)素?cái)?shù)的分類方法。例全體奇素?cái)?shù)可以分成4k+1，4k+3；或6k+1，6k+5等類型?！　『驼砸粯樱€(gè)數(shù)的最大公約數(shù)實(shí)質(zhì)上也是用等號(hào)來(lái)定義的，因此在解決此類問(wèn)題時(shí)若有必要可化為等式問(wèn)題，最大公因數(shù)的性質(zhì)中最重要的性質(zhì)之一為a=bq+c，則一定有（a，b）=（b