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1、浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文1第一章經(jīng)典莫爾斯理論推論1．2．定義在緊致流形t6勺Morse函數(shù)只有有限多的臨界點．證明：假設(shè)．廠：M_R上有無窮的臨界點p1，P2，．一，由于流形是緊致的，則存在一收斂的子序列‰。，Pn：，·．．，設(shè)肌為該子序列的極限點，由于f是Co。的，如a_L?！?在p點是光滑的，由連續(xù)性可知在伽處毫島=0，p。是f的臨界點，這與推論1．1矛盾．定理1．1(Morse函數(shù)的存在性)．令伊(M)(r≥2)是M上所有r次可微函數(shù)空間，則M上所有Morse函$炙集合F在C’(M)中是稠密的．特別地，當(dāng)M是一個緊流形時，F(xiàn)是C7(M)的一個開稠集．證明：參照馬天老師【
2、31，M為緊流形，f∈C’(M)是Morseigl數(shù)，考慮．廠的任何攝動，+￡9，g∈C7(M)，￡≠0：充分小我們知道v．廠是非退化的，那么由非退化奇點的同倫不變性，可知攝動的梯度也是非退化的．IjlJJ知Morse函數(shù)集合是伊(M)的開集．令妒：M-÷N是∥同胚，其拉回映射妒。：C7(Ⅳ)jC7(M)是同構(gòu)，定義為：妒+(．廠)=f。妒，f∈C’(Ⅳ)．由此可知只要考慮戤的嵌入子流形就可以了．令McRm是一個禮維流形，(z11．一，xm)是Rm中的坐’標(biāo)系，P∈M存在一個鄰域U，以(z1-．一，Xn)為局部坐標(biāo)系．貝0存在開集VcRn，使得U表示為：U={(z，Xn+1
3、(z)，?，zm(z))Iz∈VcRn)．令M分解為可數(shù)開覆蓋M=u墨】阢，其中阢可以用上面所說的某死個分量作為局部坐標(biāo)系．則對任意給定的a=(a1，?，am)∈Rm和．廠∈C’(M)，構(gòu)造函數(shù)厶X)=f(x)+al(x)+?+amX。這定義是合理的，只要對幾乎所有的Q=(alj．一，am)∈Rm上面構(gòu)造函數(shù)fo(x)是Morsei函數(shù)就完成證明了．把厶X)限制在阢上，可得其中9(z)定義為．厶(z)’=alx)+?+anXn+g(x)2ZmZ+nZ=yZom∑一+ZyZ，，=Zg浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文1第一章經(jīng)典莫爾斯理論厶(z)和夕(z)的Hession矩陣一致：Hf(x
4、)=Hg(x)，X∈Rn．由9(z)的構(gòu)造可知Xo是厶(z)的臨界點的充要條件是vg(zo)=一Q，Q=(a1，?，n艦)．Xo是厶(z)的非退化臨界點的充要條件是一Q是v9：艫_Rn的正則值．由Sard定理知對幾乎所有的OL∈Rn，一Ol是V9的正則值．這說明對幾乎所有的a=(a1，?，am)∈Rm，厶(z)限制在阢上是Morse函數(shù)．令A(yù)t=a∈RmI^在鞏上不是莫爾斯函數(shù))，貝．1JA=u墨1為零測集，而厶除此零測集外皆為Morse函數(shù)．證畢．1．2莫爾斯不等式定義l。2．歐氏空間中長度≤1的所有向量構(gòu)成的空間，en=x∈Rn：JIzII冬1)，稱為，z維胞腔．其邊緣
5、為邑n=X∈R札1lXII=1)，記為S肛1．引理1．2．如果M上的光滑向量場x在一個緊致集KcM之外為零，則x產(chǎn)生M的唯一一個單參數(shù)微分同胚群妒．定理1．2．設(shè)廠為流形M上的光滑實值函數(shù)，a
6、向量場gradf的零點就是f的臨界點．如果c：R_M是一條曲線，速度向量為翥，則有恒等式(塞，971adf)=塞(‘廠)=1d(f廣oc)．令p=面面麗1，則p：MjR是一個光滑函數(shù)，在緊致集廠1a，6]之外為零。則由．K=p(q)(gradf)q定義的向量場x滿足引理1．2的條件，則x產(chǎn)生一個單參數(shù)微分同胚群忱：M_M，滿"早、-盟d型t=x(慨(z))：Vx∈M．對于固定的q∈M，考慮函數(shù)￡_，(仇(q))．如果帆(q)∈f-1a：6】，則掣=(警鏟，gradf)=(x，97’o彤)=X(f)=pI舊ro形112=1．考慮微分同胚‰一口：M_M．由上面可知這個映射把Mn
7、微分同胚映成M6．再定義單參數(shù)映射族n：M6_M6如下：fr。(q)：{q，，(q)≤n’(1．1)l妒t(n一，(q))(q)，n≤f(q)≤b．浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文1第一章經(jīng)典莫爾斯理論于是ro是恒同映射，r1是從M6到M。的收縮映射，所以M。是M6的形變收縮核．定理1．3．設(shè)．廠：M—R是一個光滑函數(shù)，p是一個非蛻化臨界點，其指數(shù)為入，f(P)=c．假設(shè)對某個E>0，集合，～C一￡，C+￡]是緊致的，并且除了．如以外不再含枷勺其他臨界點．于是，當(dāng)E充分小時，Mc+e的同倫型與Mc—s粘上一個入維胞腔后的同倫型
