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1、應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),第19卷第3期(1998年3月)應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)編委會(huì)編AppliedMathematicsandMechanics重慶出版社出版小波分析在測(cè)試信號(hào)分析中的應(yīng)用!張湘?zhèn)?駱少明中桐滋(1996年10月11日收到,1997年10月21日收到修改稿)摘要本文給出了小波的基本原理和構(gòu)造方法以及小波分析的快速算法,將小波分析方法(WAM)引入到非平穩(wěn)沖擊信號(hào)的分析中,作為小波分析應(yīng)用實(shí)例,對(duì)汽車(chē)齒輪箱的斷齒測(cè)信號(hào)進(jìn)行了分析,給出了分析結(jié)果?關(guān)鍵詞小波分析傅里葉譜分析測(cè)試信號(hào)中圖分類(lèi)號(hào)O354#1
2、引言在工程實(shí)際問(wèn)題中常會(huì)碰到一系列的非平穩(wěn)、沖擊信號(hào),例如:汽車(chē)在不平整的道路上行駛時(shí)的振動(dòng)信號(hào),飛機(jī)在飛行時(shí)對(duì)突變氣流的響應(yīng)信號(hào),高速運(yùn)轉(zhuǎn)的零部件破壞時(shí)的響應(yīng)信號(hào)及高層建筑在地震時(shí)的響應(yīng)信號(hào)等等,對(duì)這類(lèi)沖擊信號(hào),傳統(tǒng)的基于傅里葉變換的時(shí)-頻信號(hào)分析方法僅能提供信號(hào)的平均統(tǒng)計(jì)結(jié)果,而難以準(zhǔn)確地描述其局部的、微細(xì)的特征?小波變換[1]則能夠在高頻處使用短窗,在低頻處使用長(zhǎng)窗,可以用不同的尺度觀察信號(hào)和用不同的分[2][3]辨率分解信號(hào),其有良好的局部化作用,因而小波分析法在測(cè)試信號(hào)分析中正受到廣泛應(yīng)用?#2小波變換及其快速算法2如果函數(shù)?L(R
3、)滿(mǎn)足如下的%容許條件&:(2
4、^
5、C=?d<((21)-(
6、
7、或者等價(jià)地:(?()d=0(22)-(2那么稱(chēng)為%基本小波&,對(duì)每一個(gè)基本小波,L(R)上的連續(xù)小波變換定義為:國(guó)家教委博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目汕頭大學(xué),汕頭515063重慶大學(xué),重慶400044!東京大學(xué),日本國(guó)東京203204張湘偉駱少明中桐滋1(-t-b2(Wf)(a,b)=
8、a
9、2?f(t)dt(f算?法L(R))(23)-(a其中,a,b?R且a)0?2函數(shù)?L(R)被稱(chēng)為二進(jìn)小波,如果存在兩個(gè)正
10、的常數(shù)A,B(0?A?B),使得:(-j2A?+
11、^(2)
12、?B(a.e)(24)j=-(jj特別地,在(23)式中令a=2,b=2k,則它稱(chēng)為%離散二進(jìn)小波變換&,若空間序列{Vi}j?Z是2[2]2-j/2L(R)的多分辨分析,Vjj?ZL(R),那么信號(hào)f(速t)可算在空間Vj的正交基(2j(t-j2-2n)n?Z)上分解,其中?L(R)是尺度函數(shù),f?VJ?f(t)=AJf(t)=+CJ,kJ,k(t)(25)k?Z<J,k,J+1,m>hk-2m(26)<J,k,J+1,m>=gk
13、-2m(27)這樣,我們有;f(t)=AJf(t)=AJ+1f(t)=AJ+1f(t)+DJ+1f(t)(28)其中(AJ+1f(t)=+CJ+1,mJ+1,m(29)m=-((DJ+1f(t)=+DJ+1,mJ+1,m(210)m=-((CJ+1,m=+hk-2mCJ,k(211)k=-((DJ+1,m=+gk-2mCJ,k(212)k=-(記H=(Hm,k),G=(Gm,k),其中Hm,k=hk-2m,Gm,k=gk-2m,則(211)和(212)式可以寫(xiě)成如下的簡(jiǎn)化式:Cf+1=H
14、CJ(213)DJ+1=GCJ(214)重復(fù)上述過(guò)程,我們得到:J1f(t)=AJf(t)++Djf(t)1j=J+1(215)圖1小波分解算法示意圖其中(Ajf(t)=+Cj,kj,k(216)k=-((Djf(t)=+Dj,kj,k(217)k=-(Cj+1=HCj(218)Dj+1=GCj1小波分析在測(cè)試信號(hào)分析中的應(yīng)用205jjAjf是在2分辨率下f的離散逼近,Djf是在2分辨率下f的離散細(xì)節(jié)?通常物理儀器記錄的分辨率是有限的,因此J的大小是有限的,這樣f(t)可分解為:dd
15、f(t)=A-1f+D-1f=A-1f+D-Jf+,+D-1f(219)小波分解算法如圖1所示?#3小波函數(shù)的構(gòu)造在實(shí)際應(yīng)用中,多分辨分析建立在2p+1階樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上,樣條函數(shù)在應(yīng)用中具有2良好的性質(zhì),設(shè)V1是所有在整單位區(qū)間[k,k+1)上次數(shù)不超過(guò)2p+1的連續(xù)L(R)函數(shù)所2構(gòu)成的閉子空間,閉子空間Vj可由V1按二進(jìn)縮得到,則空間序列{Vj}j?Z構(gòu)成L(R)多分辨分析,于是我們有:1-n-^()=(!2n())2(n=2p+2)(31)其中函數(shù)!n()由下式給出:(-n!n()=+(+2k?)(32)k=-
16、(f ^()與對(duì)應(yīng)的濾波器H()關(guān)系為:^(2)=H()^(
