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《論復(fù)變函數(shù)教材中交比的定義》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、萬方數(shù)據(jù)第14卷第1期2011年1月高等數(shù)學(xué)研究STUDIESINC()LLEGEMATHEMATICSV01．14．No．1Jan．，20ll論復(fù)變函數(shù)教材中交比的定義龍波涌，王良龍(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院。安徽各肥230039)摘要列舉多種復(fù)變函數(shù)教材關(guān)于交比的不同定義，指出其相互之間的數(shù)量關(guān)系．論述交比定義的所有可能性，其本質(zhì)是所定義的交比必須是射影幾何的基本不變量．關(guān)鍵詞交比；定義；復(fù)變函數(shù)；射影幾何中圖分類號(hào)0174．5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1008-1399(2011)O卜OOl5一03在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，復(fù)變
2、函數(shù)是一門基礎(chǔ)而重要的課程．在國(guó)內(nèi)外有很多復(fù)變函數(shù)的優(yōu)秀教材，例如文[1—6]．但是在分式線性變換這一章節(jié)里，它們給出的交比的定義卻不盡相同．由于交比的定義形式相對(duì)比較繁瑣，而且?guī)缀我饬x不明顯，因此學(xué)生很難真正理解交比的定義并且準(zhǔn)確記憶某一具體定義下交比的表達(dá)式．本文試圖探討各種不同定義下交比的內(nèi)在關(guān)系，并指出不同定義下交比的本質(zhì)．1交比的不同定義在不同的復(fù)變函數(shù)的教材中，對(duì)交比的定義各不相同，可以說是五花八門，現(xiàn)列舉部分如下：定義1[卜2]設(shè)zl，z2，z。，缸是任意給定的四個(gè)點(diǎn)，稱比值蘭!二蘭!：蘭!二三!Zl—
3、ZtZ2一Z4為這四個(gè)點(diǎn)的交比，記為(：。，z。，z。，瓤)．當(dāng)這些點(diǎn)中有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，規(guī)定(oo，z2，z3，飄)=塑；‘2‘3(21，o。，z3，翻)=盟；‘l‘4(孫鋤。。，引2弒；(孫zz，鍆∞)-鬟．定義2[33設(shè)zl，z2，z3，鉑是任意給定的四個(gè)收稿日期t2009一09—2Zl修改日期t2010一11—04．基金項(xiàng)目，安徽省教育廳基金項(xiàng)且(2006jql025)l安徽省質(zhì)量T程精品課程項(xiàng)目(‘復(fù)變函數(shù)》)．作者簡(jiǎn)介；龍波涌(1974一)．男．湖南會(huì)同人。碩士。講師。從事函數(shù)論方向的教學(xué)與研究．Email—
4、lbymxy@163．com．王良龍(1966一)，男，安徽無為人，博士．教授，主要從事微分方程方向的教學(xué)與研究．Emaii：wanglJ@ahu．edu．cIL點(diǎn)，定義這四個(gè)點(diǎn)的交比為：(zl，：2，z3，z4)一蘭L二墊：蘭蘭_二墊．Z1一Z3Z2一Z3定義3[4]設(shè)z1，z2，23，‰是任意給定的四個(gè)點(diǎn)，定義這四個(gè)點(diǎn)的交比為：(zl，z2，z3，鉑)一塑：盟．Z‘一Z3Z2一Z3定義4[53設(shè)z。，z2，碭，‰是任意給定的四個(gè)點(diǎn)，定義這四個(gè)點(diǎn)的交比為：(2l，z2，z3，z4)=蘭三二絲：三芏二絲．Z1一Z4Z
5、3一Zl定義5[63設(shè)zl，z2，：3，z4是任意給定的四個(gè)點(diǎn)，定義這四個(gè)點(diǎn)的交比為：(zl，22，z3，瓴)=塑：盟．Z4一Z2Z4一Z3其他復(fù)變函數(shù)教材對(duì)交比可能還有不同的定義，在此不再一一列舉．面對(duì)這么多不同的交比的定義，一些顯然的問題立即出現(xiàn)在我們的面前：為什么可以有這些不同的交比的定義?它們之間相互有什么關(guān)系?各種交比的本質(zhì)是什么?類似于以上定義的交比，還可能有哪些交比的定義方式72交比的不同定義的內(nèi)在相互關(guān)系通過觀察發(fā)現(xiàn)，以上列出的不同定義下的交比表達(dá)式都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即都具有蘭!二三12蘭!=蘭!
6、zj—zlzj—zt的表達(dá)形式，其中l(wèi)f，．『，矗，Z∈{1，2，3，4)，i≠．『≠足≠Z．顯然，具有上述形式的交比表達(dá)式共有24種．通過繁瑣但平凡的計(jì)算，可以發(fā)現(xiàn)其中有些交比的值是相同的．．對(duì)于擴(kuò)充復(fù)平面中給定的四點(diǎn)2。，z。，‰，z．，若萬方數(shù)據(jù)16高等數(shù)學(xué)研究2011年1月按定義1中定義的交比，令(zl，z2，z3，z4)=．=【，則可以列出所有24種交比表達(dá)式的值如下：(zl，z2，z3，zt)=(z2，zl，2‘，z3)=(z3，：4，zl，z2)=(zl，z3，z2，z1)=A；(z2，2l，z3，24
7、)=(zl，z2，zt，z3)=(z3，z4，z2，z1)=(zI，23，zl，z2)=÷；(名l，z3，z2，名4)=(z3，2l，z4，z2)=(芝2，24，z1，z3)=(24，z2，z3，z1)=1一A；(z3，zI，z2，z4)=(zl，：3，z4，z2)=(％鍆孫z1)一(孫鐋孫z3)2南；(z2，z3，zl，z4)=(z3，z2，z4，z1)=(z。，缸，z2，z。)一(鉑，2。，z。，z：)。L}；(z3，z2，z1，z4)=(z2，z3，z4，z1)=＆1’缸簿3穆2)=＆t心1’施簿3)2∈與·雖
8、然存在24種交比表達(dá)式，但實(shí)質(zhì)上的交比值只可能有六種．以上計(jì)算結(jié)果正好反映了不同定義下交比的值其相互之間的數(shù)量關(guān)系．一般而言，上述六種結(jié)果是互異的．但是，如果令其中任意兩個(gè)相等，則我們可得到15個(gè)方程，再?gòu)倪@15方程中即可解出A的值．經(jīng)過平凡的計(jì)算和整理，我們有如下結(jié)論．結(jié)論l，如果A=O；l；o。，那么，各種交比表達(dá)式中只可能出現(xiàn)三種不同的結(jié)
